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線形代数の証明問題：m×mの行列Aの収束条件
- 線形代数の証明問題です。m×m（m>1）の実行列Aに関する収束条件についてまとめました。
- Aが相異なるm個の実固有値を持つ場合と、Aの多項式がm重根を持ち、それが正の実数の場合の収束条件を説明します。
- 定まるベクトルの列が任意のm次元実ベクトルに対して収束する条件について具体的に述べます。
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補足へ この問題の分野というか背景があるようですが、私は詳しく知りません。 線形代数というよりは数値計算の文献に出てくるかもしれません。 (2)について 確信はありませんが、ノルム1に基準化されているので、(A^n)bの成分間の比率が収束するかどうかを調べればいいのかなと思います。 Aのジョルダン標準形をJとして(A^n)b=P^(-1)(J^n)Pb。 c=Pb、xn=(J^n)cと置けば、xnの各成分はAの固有値λ、c、nに依存する比較的分かり易いλの多項式で表せると思います。 あとはλの値で場合分けして、xnの成分間の比率がn→∞の極限で収束するか。 全ての成分間の比率が収束すれば、(A^n)b=P^(-1)xnの成分間の比率も収束すると言えそう。 大変そうだし、これが証明の方針として正しいという保証もないのですが。
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- Tacosan
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「ノルム」と一口に言っても, 厳密にはいっぱいあるんですよ. 普通はユークリッドノルムを使うだろうけど, なんとも書いてない以上何かを仮定するのもまずいでしょ? あと, この問題にはバックグラウンドがあります. でちょっと調べると (2) の方は収束するっぽいんだけど... ぶっちゃけどこから手を付けるんだろうなぁ....
お礼
返事が遅くなってしまい、申し訳ありませんでした。 何度もお返事をくださいましてありがとうございました。
しまった、(2)「正の実数」か。 || ||も未定義でしたね。 #4さん、指摘ありがとうございました。
補足
||X||はノルムです。 両方「偽」だと分かってから問題を解けば、反例を考えるだけでいいので、答えが見つかるのが早くなると思って聞いてみたのですが、おっしゃる通りです。 問題の根本が理解できないと、ちょっと形が違う問題が出ただけで全く解けなくなりますものね。 この問題に関して考察をしていきたいのですが、線形代数でもこういった「ベクトルの収束」に関する問題とはどういった分野になるのですか？ 少なくとも、自分が使ってる参考書にはこういった類題がなく、困っています。
- Tacosan
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質問者が納得しているかどうかはさておき「理解できていない」ふしはありますな＞#3. #2 の (2) に挙がっている行列が「設問の条件を満たしていない」ことにすら気づいていないんだもの. ん～, でもぱっと思いつかんなぁ.... そもそも ||x|| ってどう定義してるんだろう....
お礼
||X||はノルムです。 おっしゃる通り、まだ理解できておりません。 線形代数の問題だと、固有値を求めるとか逆行列を求めるとか単純な計算問題しかやってきていなかったので、こういった証明問題にどこから手をつけていいか全く分からず、質問しました。
#2補足へ 「両方とも偽ということでよろしいですか」と聞かれても、それはあなたが納得したかどうかによります。 納得したのですか。 仮に納得したとしても、「より広いクラスの行列とベクトルが問題の命題に反すると言えないか」、「命題を満たす行列とベクトルにはどんなものがあるか」など、自分で考えるべきことはまだありますね。 それに#2の(1)の反例は仮定「相異なる固有値を持つ」を特に使っていませんが、出題者の意図は何だったのでしょう。 余計なお世話かもしれませんが、特殊な反例に満足せず、こういった問題への考察を進めてください。
#1補足 (1)「-1以下の固有値」を「負の固有値」で置き換えても大丈夫ですね。 (2)（多項式は特性多項式だとして）似たような反例として、A=aI（Iは単位行列、aは負の実数）、b≠0が考えられると思います。
補足
回答ありがとうございます。では、これは両方とも「偽」ということでよろしいのでしょうか？
(1)簡単な反例を示すにはAとして対称行列を考えるといいかもしれません。 -1以下の固有値を持つと仮定してそれに対応する固有ベクトルをbにする。 反例になっているか、またいい反例か分からないので、自分でもよく考えてください。 (2)Aの多項式というのがよく分かりませんでした。
補足
すみません、Aの固有多項式でした。
お礼
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