線形代数の問題で質問があります。

質問

線形代数の問題で質問があります。

４つのベクトルa1=(1,1,-√2)T, a2=(1,1,√2)T, a3=(3,3,√2)T, a4=(1,2,√2)T について。Tは転置を表す。

(1)a1とa2は一次独立であることを示せ
(2)a1,a2,a3は一次従属であることを示せ
(3)a3のa1への正射影を求めよ
(4){a1,a2}によって張られる部分空間の次元を理由と共に示せ
(5){a1,a2}によって張られる部分空間へのベクトルa4の正射影を求めよ

という問題なんですが、 どなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.2

Anti-Giants · ベストアンサー

(1)
pa(1)+qa(2)=0ならば、p=q=0であることを示せばよい。
計算するだけ。

(2)
pa(1)+qa(2)+ra(3)=0が、p=q=r=0でない場合でも成り立つことを示せばよい。
例として、p=1,q=2,r=-1。

(3)
<,>は内積。
<a(1),a(3)>a(1)/|a(1)|^2=a(1).

(4)
次元は2。
理由は、a(1)とa(2)が一次独立だから。

(5)
求める正射影をv=pa(1)+qa(2)とおく。
正射影の定義（かな・・・）
<a(1),a(4)-v>=0.
<a(2),a(4)-v>=0.

v=(p+q,p+q,-proot{2}+qroot{2}).
<a(1),a(4)-v>=(1-p-q)+(2-p-q)-2(1+p-q)=1-4p-q=0.
<a(2),a(4)-v>=(1-p-q)+(2-p-q)+2(1+p-q)=5-p-4q=0.

5-p-4(1-4p)=0.
1+15p=0,p=-1/15.
q=1-4/15=11/15.

こんな感じかな・・・

回答No.3

alice_44

(4)
次元は、2。
理由は、｛ a1, a2 ｝が、その基底となるから。
一次独立なだけでは…

お礼

回答してくださった皆様、どうもありがとうございました。
とても詳しく教えていただけたので、大変わかりやすく助かりました。
どうもありがとうございました。

回答No.1

alice_44

(1)
スカラー x,y についての方程式
x a1 + y a2 = 0 を解いて、
解が x = y = 0 であることを示せば、ok。

(2)
スカラー x,y,z についての方程式
x a1 + y a2 + z a3 = 0 を解いて、
x = y = z = 0 以外の解を一個挙げて見せれば ok。

(3)(4)
ベクトル v の a1 への正射影は、
｛ (v,a1)/(a1,a1) ｝a1。
ただし、( , ) は内積を表す。
これを当てはめて、計算する。