3次元で4つ以上のベクトルは線型従属である事の証明

質問

3次元で4つ以上のベクトルは線型従属である事の証明を以下のように考えたのですが、あっているでしょうか？

ベクトルu,v,w∈R(3)が線型独立であるとすると、もう一つのベクトルxは

　　　x＝au＋bv＋cw

のように3つのベクトルの線型結合によって表すことができる。
よって、4つ以上のベクトルは線型従属である。

自分的にはあまりしっくりこない証明なのですが、もし間違っていたり、助言があれば教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

基本的には、その考えかたでよいのですが、
＞　のように3つのベクトルの線型結合によって表すことができる。
の箇所の根拠を示す必要があります。

u,v,w の例を具体的に挙げてみては、どうでしょう。
数対ベクトルにおける加法とスカラー倍の定義から、
x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)=(x,y,z) です。
これは、任意の (x,y,z) が { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) } の
線型結合で表せることを示しています。

次元は基底の要素数であり、
基底 = 独立生成系 = 最大独立系 = 最小生成系 なので、　←[*]
3 要素の生成系が見つかったということは、空間の次元は 3 以下、
したがって 4 ベクトルは従属ということになります。

基底というものの定義しかたによっては、[*] に証明をつける
必要があるかもしれません。

お礼

なるほど!!
とても分かりやすい解答ありがとうございます

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

3次元というのは線形独立な基底が3個
という意味なので、3項のベクトル
と言った方がよいでしょう。

N項のベクトル空間の基底がN個になるという
証明は、斎藤正彦の「線形代数入門」
に2通り載っていましたが、どちらも
結構複雑です。

1) 斉次方程式の解の法則を導き、そこから導く方法。
2) 極大独立系の定理から導く方法

証明の本体は1～2ページですが、基本定理や
補助定理等証明も含めると10ページ近い分量になります。

まともな証明を知りたいなら、線形代数の本を
お買いになることをお勧めします。

お礼

アドバイスありがとうございます。
この証明は奥が深いんですね。
紹介していただいた本を参考にもう少し自分なりに考えたいと思います。

回答No.1

koko_u_u

まずは「3次元」とはどういうことなのかを明確にするべきです。

お礼

解答ありがとうございます。
アドバイスの通り、基底を用いたりして3次元を詳しく説明して、解答を書き直したいと思います。