線形代数の問題が分からないので教えて下さい。

質問

Uをベクトルv1=(2,1,1)とv2=(-1,2,0)が張る線形部分空間とする。
そのとき、点y=(10,20,2)から最も近いU上の点v0を求めよ。
原点Ｏとv0は平面U上にあり、Ｏ,v0,yでつくる角度は90度である。(直角三角形をつくる)

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

ベクトルを↑で表します。
v0↑=(a,b,c)とし、点yから点v0へ向かうベクトルを
z↑とすると、z↑=v0↑-y↑=z↑(a-10,b-20,c-2)
z↑がv0↑と直交することから、両ベクトルの内積は0、
すなわち、a(a-10)+b(b-20)+c(c-2)=0・・・(ア)
z↑はv1↑及びv2↑とそれぞれ直交するので、同様に
2(a-10)+(b-20)+(c-2)=0・・・(イ)
-(a-10)+2(b-20)=0・・・(ウ)
(ア)(イ)(ウ)を連立で解いてa,b,cを求めると、
a=10,b=20,c=2と
a=8,b=19,c=7の2解が得られるが、(10,20,2)↑はU上には
ないので破棄する。
従ってv0↑=(8,19,7)が求める答えとなる。
これがU上であることは
v0↑(8,19,7)=7*v1↑(2,1,1)+6*v2↑(-1,2,0)
で確認できる。

お礼

内積を使えば解けるということですね。とても分かりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.1

noname#154783

話の都合上y = (10,20,2)の代わりに
r0 = (10,20,2)
という記号を使うことにします．

ベクトルn = (2,1,-5)はv1とv2の両方と垂直ですから，点nを通ってaを方向ベクトルとする直線Lを考えると，L上の点の位置ベクトルrはパラメタtを用いて次のように表される：
L: r = r0 + n t.
すなわち，座標(x,y,z)を用いて
L: x = 10 + 2t, y = 20 + t, z = 2 -5t. …(1)

# ベクトルnをどうやって見つけたのかというと，
# ベクトル積 n = v2 × v1
# として見つけています．

また，nは平面Uの法線ベクトルであり，Uは原点Oを通ることから，平面Uの方程式は次のように書ける：
U: ｎ・r = 0.
すなわち，座標(x,y,z)を用いて
U: 2x + y -5 z = 0. …(2)

(1)を(2)に代入すると，
30 + 30t = 0.
∴ t = -1.

したがってUとLとの交点は(8,19,7)これが求める点v0である：
v0 = (8,19,7).

お礼

パラメータを用いて表現するのはとても僕には難しかったですが何とか理解出来ました。早い応答していただいてありがとうございます。