挿入後..

質問

A = (0,0); B = (b,0); C = (c[x],c[y]) ∈R^2 なる　△ABC について;
∠Aの二等分線とBCとの交点をD, ∠Aの外角のニ等分線とBCの延長との交点をE とする。
Dの座標は　( , ) で　E の　座標は　( , )
DEの中点をＯとする時, Ｏ の　座標は　( , )である。
　　　　<---各　●穴に正しいモノを●　願います。
　　　　　　容易過ぎますが　上の　挿入後
(1)ＯB・ＯC=ＯD^2が成り立つ事を証明せよ。
(2)ＯB：ＯC＝AB^2：AC^2が成り立つ事を証明せよ。

回答No.1

jcpmutura

A=(0,0)
B=(b,0)
C=(c[x],c[y])=(u,v)∈R^2
なる△ABC について;
∠Aの2等分線とBCとの交点をD,
∠Aの外角の2等分線とBCの延長との交点をEとする。
C-B=(u,v)-(b,0)=(u-b,v)
だから
BCの傾きは
v/(u-b)
で
BCはB=(b,0)を通るから
BCの式は
y=v(x-b)/(u-b)…(BC)

∠BAC=t
とするとACの傾きは
tant=v/u
(sint/cost)^2=v^2/u^2

|C|^2=u^2+v^2

1/(cost)^2
=1+(sint/cost)^2
=1+v^2/u^2
=|C|^2/u^2

(cost)^2=u^2/|C|^2
cost=u/|C|

{tan(t/2)}^2
={sin(t/2)}^2/{cos(t/2)}^2
=(1-cost)/(1+cost)
=(1-u/|C|)/(1+u/|C|)
=(|C|-u)/(|C|+u)
=(|C|-u)^2/v^2

ADの傾きは
tan(∠BAD)=tan(t/2)=(|C|-u)/v
だから
ADの式は
y=xtan(∠BAD)=x(|C|-u)/v…(AD)

だから
ADとBCの交点D(x,y)は
v(x-b)/(u-b)=y=x(|C|-u)/v
v(x-b)/(u-b)=x(|C|-u)/v
v^2(x-b)=x(u-b)(|C|-u)
x{v^2+(b-u)(|C|-u)}=bv^2
x(v^2+b|C|-bu-|C|u+u^2)=bv^2
x{|C|^2+(b-u)|C|-bu}=bv^2
x(|C|+b)(|C|-u)=bv^2
x(|C|+b)(|C|^2-u^2)=bv^2(|C|+u)
x(|C|+b)v^2=bv^2(|C|+u)
x(|C|+b)=b(|C|+u)
x=b(u+|C|)/(b+|C|)
y=b(u+|C|)(|C|-u)/{v(b+|C|)}
y=b{|C|^2-u^2}/{v(b+|C|)}
y=bv^2/{v(b+|C|)}
y=bv/(b+|C|)
x=b{u+√(u^2+v^2)}/{b+√(u^2+v^2)}
y=bv/{b+√(u^2+v^2)}

Dの座標は
b(u+|C|,v)/(b+|C|)
=(b{c[x]+√(c[x]^2+c[y]^2)}/{b+√(c[x]^2+c[y]^2)},bc[y]/{b+√(c[x]^2+c[y]^2)})

∠Aの外角は
180°-∠A=180°-∠BAC=π-t
だから
∠CAE=(π-t)/2
だから
∠BAE=∠BAC+∠CAE=t+(π-t)/2=(t+π)/2
AEの式は
y=xtan{(t+π)/2}
y=xsin{(t+π)/2}/cos{(t+π)/2}
y=-xcos(t/2)/sin(t/2)
y=-x/tan(t/2)
↓tan(t/2)=(|C|-u)/vだから
y=-vx/(|C|-u)
y=-xv(|C|+u)/(|C|^2-u^2)
y=-xv(|C|+u)/v^2
y=-x(|C|+u)/v…(AE)
だから
AEとBCの延長との交点E(x,y)は
v(x-b)/(u-b)=y=-x(|C|+u)/v
v^2(x-b)=-x(|C|+u)(u-b)
x{v^2+(u-b)(|C|+u)}=bv^2
x(v^2+u^2+u|C|-b|C|-bu)=bv^2
x{|C|^2+(u-b)|C|-bu}=bv^2
x(|C|-b)(|C|+u)=bv^2
x(|C|-b)(|C|^2-u^2)=bv^2(|C|-u)
x(|C|-b)v^2=bv^2(|C|-u)
x(|C|-b)=b(|C|-u)
x=b(u-|C|)/(b-|C|)
y=-b(|C|-u)(|C|+u)/{v(|C|-b)}
y=-b{|C|^2-u^2}/{v(|C|-b)}
y=-b{(v)^2}/{v(|C|-b)}
y=bv/(b-|C|)
x=b{u-√(u^2+v^2)}/{b-√(u^2+v^2)}
y=bv/{b-√(u^2+v^2)}

Eの座標は
b(u-|C|,v)/(b-|C|)
=(b{c[x]-√(c[x]^2+c[y]^2)}/{b-√(c[x]^2+c[y]^2)},bc[y]/{b-√(c[x]^2+c[y]^2)})

DEの中点をＯとする時,
Ｏ
=(D+E)/2
={(b(u+|C|)/(b+|C|),bv/(b+|C|))+(b(u-|C|)/(b-|C|),bv/(b-|C|))}/2
=(b(u+|C|)/(b+|C|)+b(u-|C|)/(b-|C|),bv/(b+|C|)+bv/(b-|C|))/2
=(b{(u+|C|)(b-|C|)+(u-|C|)(b+|C|)}/(b^2-|C|^2),bv(b-|C|+b+|C|)/(b^2-|C|^2))/2
=(b(bu-|C|^2)/(b^2-|C|^2),vb^2/(b^2-|C|^2))
=(b(bu-u^2-v^2)/(b^2-u^2-v^2),vb^2/(b^2-u^2-v^2))
だから
Ｏの座標は
b(bu-|C|^2,vb)/(b^2-|C|^2)
=(b(bc[x]-c[x]^2-c[y]^2)/(b^2-c[x]^2-c[y]^2),c[y]b^2/(b^2-c[x]^2-c[y]^2))
である。

(1)
|ＯB||ＯC|
=|B-Ｏ||C-Ｏ|
=|(b,0)-b(bu-|C|^2,vb)/(b^2-|C|^2)||(u,v)-b(bu-|C|^2,vb)/(b^2-|C|^2)|
=
|(b-b(bu-|C|^2)/(b^2-|C|^2),-vb^2/(b^2-|C|^2))|
|(u-b(bu-|C|^2)/(b^2-|C|^2),v-vb^2/(b^2-|C|^2))|
=
|b^2(b-u,-v)/(b^2-|C|^2)||(b-u,-v)|C|^2/(b^2-|C|^2)|
=
b^2|C|^2|(b-u,-v)|^2/(b^2-|C|^2)^2
=
b^2|C|^2{(b-u)^2+(v)^2}/(b^2-|C|^2)^2
=
b^2|C|^2(b^2-2bu+|C|^2)/(b^2-|C|^2)^2

|ＯD|^2
=
|D-Ｏ|^2
=
|(b(u+|C|)/(b+|C|),bv/(b+|C|))-(b(bu-|C|^2)/(b^2-|C|^2),vb^2/(b^2-|C|^2))|^2
=
|b((u+|C|)/(b+|C|)-(bu-|C|^2)/(b^2-|C|^2),v{1/(b+|C|)-b/(b^2-|C|^2)})|^2
=
|b(|C|(b-u)/(b^2-|C|^2),-v|C|/(b^2-|C|^2))|^2
=
b^2|C|^2|(b-u,-v)|^2/(b^2-|C|^2)^2
=
b^2|C|^2{(b-u)^2+(v)^2}/(b^2-|C|^2)^2
=
b^2|C|^2(b^2-2bu+|C|^2)/(b^2-|C|^2)^2
=|ＯB||ＯC|
∴
|ＯB||ＯC|=|ＯD|^2

(2)
|ＯB|:|ＯC|
=
|B-Ｏ|:|C-Ｏ|
=
|(b,0)-(b{bu-|C|^2}/{b^2-|C|^2},vb^2/{b^2-|C|^2})|
:
|(u,v)-(b{bu-|C|^2}/{b^2-|C|^2},vb^2/{b^2-|C|^2})|
=
|(b-b{bu-|C|^2}/{b^2-|C|^2},-vb^2/{b^2-|C|^2})|
:
|(u-b{bu-|C|^2}/{b^2-|C|^2},v-vb^2/{b^2-|C|^2})|
=
b^2|(b-u,-v)|/|b^2-|C|^2|
:
|C|^2|(b-u,-v)/|b^2-|C|^2|
=
b^2:|C|^2

|AB|^2:|AC|^2
=
|B|^2:|C|^2
=
|(b,0)|^2:|(u,v)|^2
=
b^2:|C|^2
=
|ＯB|:|ＯC|
∴
|ＯB|:|ＯC|=|AB|^2:|AC|^2