平面図形

質問

△ABCにおいて、∠Aおよびその外角の二等分線と直線BCの交点をそれぞれD,Eとするとき、
１/BD＋１/BE＝２/BC　が成り立つことを証明せよ。
という問題で、解説に(二等分線の性質による、辺の比は既知として)BD＝AB/AB＋AC×BC,BE＝AB/AB－AC×BC
と書いてあったのですが、全く理解できません、教えてきいただけないでしょうか？

回答No.3

rinri503 · ベストアンサー

ＡＢ／ＡＣ＝ＢＤ／ＤＣ＝ＢＤ／ＢＣ－ＢＤ
ＡＢ(ＢＣ－ＢＤ）＝ＡＣ＊ＢＤ
（ＡＣ＋ＡＢ）ＢＤ＝ＡＢ＊ＢＣ
　ＢＤ＝ＡＢ＊ＢＣ／（ＡＣ＋ＡＢ）
また
　ＡＢ／ＡＣ＝ＢＥ／ＥＣ＝ＢＥ／（ＢＥ－ＢＣ）
　ＡＢ（ＢＥ－ＢＣ）＝ＡＣ＊ＢＥ
　ＢＥ（ＡＢ－ＡＣ）＝ＡＢ＊ＢＣ
　ＢＥ＝ＡＢ＊ＢＣ／ＡＢ－ＡＣ
これを与式の左辺に代入すると証明できます。

回答No.2

labbotto37

BD:DC=AB:ACなのでBD:BC＝AB:AB+ACとなります。内項の積と外項の積を考えればBD×（AB+AC）＝AB×BCになります。これを両辺(AB+AC)で割ります。BEについても同様です。質問文では括弧が抜けてますね。実際は
BD=AB/(AB+AC)×BC
BE=AB/(AB－AC)×BC
ですよね。
後は、1/BD+1/BEにこれらの式を代入して計算すれば2/BCと求まります。

回答No.1

labbotto37

ADは角Aの二等分線なので、点Dは辺BCをAB:ACに内分します。またAEは角Aの外角の二等分線なので、点Eは辺BCをAB:ACに外分します。内分・外分の式を用いれば解説のようにBD、BEが求まりますよね。

補足

返信ありがとうございました。
質問文に書いてある通り、そのことは知っています。
その比から、どうその、式に変形させるのかがわからないのです。
Ps (二等分線の性質による、辺の比は既知として)
は自分がということです。