角度が出ない！

質問

問題：
四角形ABCDで、∠B＝90°、Eは∠ADCの二等分線と辺BCとの交点である。点CからDEに平行な直線をひき、辺ADの延長との交点をFとするとき
(1)△DCFが二等辺三角形となることを証明せよ。
(2)Dが線分AFの中点で、∠BED＝120°のとき、AとEを結んでできる∠BAEの大きさを求めなさい。

(1)は△AEDと△DCFが相似であり、そこから二等辺三角形であることが証明できると思うのですが、(2)が解けそうで解けないんです。
どなたか解説をお願いします。

回答No.7

aki333 · ベストアンサー

No.５で回答したものです。補足要求がありましたので・・・・

説明を一部は省いてしまったせいでしょうか？補足します。

∠ＡＥＤ＝∠ＣＥＤはよろしいですよね。

∠ＢＥＣは直線なので１８０°です。
また条件より∠ＢＥＤは１２０°です。
したがって
∠ＣＥＤ＝∠ＢＥＣ－∠ＢＥＤ＝１８０°－１２０°＝６０°

以上です。

お礼

お礼が遅れてしまいすいません。
丁寧な解説でとてもよくわかりました。

ありがとうございました。

回答No.6

hinebot

#1です。

(2)の方ですが、難しく考えすぎたようですね。
#4,#5の方の仰る通りです。

お礼

たびたび、ありがとうございます。
色々な解き方があるみたいですね。
＃1の方法もじっくり読んで理解したいと思います。でもちょっと、僕には難しくてわからないかも(笑)

回答No.5

aki333

（２）のみ解説します。

△ＡＤＥと△ＣＤＥは条件と（１）の証明より合同になります。（２辺と間の角が等しい）

したがって対応する∠ＡＥＤ＝∠ＣＥＤ＝６０°

∠ＡＥＢ＝∠ＢＥＤ－∠ＡＥＤ＝１２０°－６０°＝６０°

△ＡＢＥは直角三角形なので∠ＢＡＥ＝３０°

ちなみに（１）で△ＡＥＤと△ＤＣＦが相似というのはうなずけません。平行線の同位角や錯角から証明するのでは？

補足

とてもわかりやすい解答ありがとうございます。
にもかかわらず、途中でつまってしまい質問なんですが。
＞したがって対応する∠ＡＥＤ＝∠ＣＥＤ＝６０°
なぜ、60°が求められるのでしょうか？

(1)は相似ではなく、平行と錯覚から証明するんですね。
ありがとうございました。

回答No.4

maruru01

こんにちは。maruru01です。

(2)のみ
補助線ACを引かなくても出来ます。

まず、△AEDと△CEDが合同であることを証明します。（合同条件は2辺とその間の角が等しい。EDは共有しており、仮定からAD＝CD、∠ADE＝∠CDE）
∠AEC＝∠AED＋∠CED＝2∠CED＝2(180－∠BED)＝2(180－120)＝2×60＝120
△ABEにおいて、
「三角形のある角の外角は、その隣になり2つの内角の和に等しい」から、
∠AEC＝∠ABE＋∠BAE
∠BAE＝∠AEC－∠ABE＝120－90＝30

回答No.3

hinebot

#1です。

#2さんへ
>ＤＦとＢＣが平行であるので
これ、どこから出てきました？そんな条件ありましたっけ？

あと、#1の中ほどの
>これと∠B（∠ABE）＝90より、四角形ABEGは円に内接する。
>よって、∠BEG（∠BED)＝120より、∠BAG＝60　これより∠ACB=30
の部分、もっと単純に
∠BEG=120より、∠GEC＝180-60　よって∠ACB=30
∠BAG=180-(90+30)=60
でOKでしたね。

回答No.2

ADEMU

１）は∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＥでＤＥとＦＣが平行であるので∠ＣＤＥ＝∠ＤＣＦ＝∠ＤＦＣ。
よって△ＤＣＦは二等辺三角形。
２）ＤＦとＢＣが平行であるので∠ＥＤＦ＝１２０度、よって∠ＡＤＥ＝６０度である。
∠ＤＦＣ＝∠ＤＣＦ＝６０度だから∠ＣＤＦも６０度。
ＡＤ＝ＤＦ＝ＥＣだからＡＥとＤＣは平行である。
よって∠ＤＡＥ＝∠ＦＤＣ＝∠ＡＥＢ＝６０度。
よって∠ＢＡＥ＝３０度である。

お礼

お礼が遅くなりすいません。
解答ありがとうございました。

回答No.1

hinebot

(1)
∠ADE=∠EDC （DEが∠ADCの二等分線なので）
∠EDC=∠DCF （DE//CF で錯角なので）
よって、∠DCF＝a とすると ∠ADC＝2a
△DCFにおいて、内角の和＝外角より
∠DCF+∠DFC＝∠ADC なので、∠DFC=∠ADC－∠DCF=2a-a=a=∠DCF
ゆえに△DCFはDC=DFの二等辺三角形である。

(2)　°の記号は省略します。
AとCを結ぶ。
△DACにおいて
仮定と(1)の結果よりAD=DF=DC ---[1]
よって、△DACは二等辺三角形となり∠DAC=∠DCA
(1)で使った　「∠DCF＝a とすると ∠ADC＝2a」を用いると
∠DAC=∠DCA ={180-2a}÷2 =　90-a
従って∠ACF= ∠DCA＋∠DCF = 90-a + a = 90
よって△ACFは直角三角形であり、Dは斜辺AFの中点なので
∠ADC =90　となる。
よって、∠DCA=∠DCF(=a)= 45 (ちょっとはしょったけどOKかな？）

ACとDEの交点をGとすると
∠GAD＝∠ADG＝45となるので、∠AGD＝90　---[*]
これと∠B（∠ABE）＝90より、四角形ABEGは円に内接する。
よって、∠BEG（∠BED)＝120より、∠BAG＝60　これより∠ACB=30

一方△GADと△GCDは
∠GDA＝∠GDC（＝45）
∠AGD=∠DGC=90
GD=GD で一辺とその両端の角が等しいから合同。しかも[*]より
△GADが二等辺三角形になるので
AG=GD=GC
AG=GC と∠EGC=90　より△EACはEA=ECの二等辺三角形
よって∠EAC＝∠ECB(∠ACB）＝30
従って求める∠BAEは　∠BAE＝∠BAC－∠EAC＝60－30＝30

多分、間違ってはないと思いますが。（図をみながら検証してくださいね。）