ベクトルの問題です。解答よろしくお願いします。

質問

四面体OABCを考えa=OA,b=OB, c=OC(ベクトル)とする。また、線分OA、OB、OCを２対１に内分する点をそれぞれA',B'.C',とし、直線BC'と直線B’Cの交点をD、3点A'、B、C,を通る平面と直線ADとの交点をEとする。

OE（ベクトル）をa, b, c,（ベクトル）で表してください。

回答No.4

ferien

＞四面体OABCを考えa=OA,b=OB, c=OC(ベクトル)とする。また、線分OA、OB、OCを２対１に内分する点をそれぞれA',B'.C',とし、直線BC'と直線B’Cの交点をD、3点A'、B、C,を通る平面と直線ADとの交点をEとする。
＞OE（ベクトル）をa, b, c,（ベクトル）で表してください。
ＯＡ'＝（２／３）ａ，ＯＢ’＝（２／３）ｂ，ＯＣ’＝８２／３）ｃ
ＢＤ：ＤＣ'＝ｓ：（１－ｓ），Ｂ'Ｄ：ＤＣ＝ｔ：（１－ｔ）とすると、
ＯＤ＝（１－ｓ）ＯＢ＋ｓＯＣ'＝（１－ｓ）ｂ＋ｓ・(2/3)ｃ　……（１）
ＯＤ＝（１－ｔ）ＯＢ'＋ｔＯＣ＝（１－ｔ）・(2/3)ｂ＋ｔｃ　……（２）
（１）（２）より、係数比較すると、
１－ｓ＝(2/3)（１－ｔ），(2/3)ｓ＝ｔ　を連立で解くと、
ｓ＝３／５，ｔ＝２／５
よって、ＯＤ＝（２／５）ｂ＋（２／５）ｃ
Ａ，Ｅ，Ｄは一直線上にあるから、ＡＥ＝ｋＡＤとおける。
ＡＥ＝ｋ（ＯＤ－ＯＡ）＝(2/5)ｋ・ｂ＋(2/5)ｋ・ｃ－ｋａ
ＯＥ－ＯＡ＝(2/5)ｋ・ｂ＋(2/5)ｋ・ｃ－ｋａより、
ＯＥ＝（１－ｋ）ａ＋(2/5)ｋ・ｂ＋(2/5)ｋ・ｃ　……（３）
△Ａ'ＢＣで、Ａ'Ｅの延長とＢＣの交点をＦとする。
ＢＦ：ＦＣ＝ｕ：（１－ｕ）とすると、
Ａ'Ｆ＝（１－ｕ）Ａ'Ｂ＋ｕＡ'Ｃ
＝（１－ｕ）（ｂ－ＯＡ'）＋ｕ（ｃ－ＯＡ'）
＝（１－ｕ）ｂ＋ｕｃ－(2/3)ａ
Ａ'，Ｅ，Ｆは一直線上にあるから、Ａ'Ｅ＝ｍＡ'Ｆとおけるから、
Ａ'Ｅ＝ｍ｛（１－ｕ）ｂ＋ｕｃ－(2/3)ａ｝
ＯＥ－ＯＡ'＝ｍ（１－ｕ）・ｂ＋ｍｕ・ｃ－(2/3)ｍ・ａより、
ＯＥ＝（2/3)（１－ｍ）・ａ＋ｍ（１－ｕ）・ｂ＋ｍｕ・ｃ　……（４）
（３）（４）より、係数を比較すると、
１－ｋ＝(2/3)（１－ｍ），(2/5)ｋ＝ｍ（１－ｕ），(2/5)ｋ＝ｍｕ
を連立で解くと、
ｋ＝５／７，ｍ＝４／７，ｕ＝１／２
よって、（３）より、
ＯＥ＝（２／７）ａ＋（２／７）ｂ＋（２／７）ｃ

どうでしょうか？図を描いて確認してみて下さい。

回答No.3

178-tall

直線や平面を示す一次結合を等置させ、それらの交点にて一次結合の差を零係数とする手口。
「勘定書き」の要約だけでも…。
(四面体 OABC がペチャンコでなければ、ベクトル {a, b, c} はすべて互いに独立)

a' = (2/3)a
b' = (2/3)b
c' = (2/3)b

D 点にて。
　d = b + h(c'-b) = b' + k(c-b')　→　h=3/5, k=2/5
　→　d = (2/5)(b+c)

E 点にて。
　e = qa' + rb + (1-q-r)c = a + s{d - a}
　　　　↓
　(2/3)q　　　　+　 s　= 1
　　　　　　r - (2/5)s = 0
　　　　q + r + (4/5)s = 1
　→　q=3/7, r=2/7, s = 5/7
　→　e = (2/7)(a+b+c)

回答No.2

yyssaa

ベクトルを↑で表します。↑b+↑BC'=(2/3)↑c
△OBC∽△OB'C'、△BCD∽△B'C'D、なのでBD/DC'=BC/B'C'=3/2
よって
↑BD=(3/5)↑BC'=(3/5){(2/3)↑c-↑b}=(2/5)↑c-(3/5)↑b
↑OD=↑b+↑BD=↑b+(2/5)↑c-(3/5)↑b=(2/5)(↑c+↑b)
↑AD=↑OD-↑a=(2/5)(↑c+↑b)-↑a
↑A'B=↑b-(2/3)↑a、↑A'C=↑c-(2/3)↑a
点Eは△A'BC上にあり、↑AD上にあるので、k1,k2,k3を定数と
すると、↑A'E=(1/3)↑a+k1↑AD=k2↑A'B+k3↑A'Cが成り立つ。
↑A'E=(1/3)↑a+k1↑AD=(1/3)↑a+k1{(2/5)(↑c+↑b)-↑a}
={(1/3)-k1}↑a+(2/5)k1↑b+(2/5)k1↑c
k2↑A'B+k3↑A'C=k2{↑b-(2/3)↑a}+k3{↑c-(2/3)↑a}
=-(2/3)(k2+k3)↑a+k2↑b+k3↑c
両式の係数を比較して、
k2=k3=(2/5)k1、(1/3)-k1=-(2/3)(k2+k3)、k1を求めると
(1/3)-k1=-(2/3){(2/5)k1*2}=-(8/15)k1からk1=5/7
よって↑A'E=(1/3)↑a+k1↑AD=(1/3)↑a+(5/7)↑AD
=(1/3)↑a+(5/7){(2/5)(↑c+↑b)-↑a}
=-(8/21)↑a+(2/7)(↑c+↑b)
求める↑OE=(2/3)↑a+↑A'E=(2/3)↑a-(8/21)↑a+(2/7)(↑c+↑b)
=(2/7)(↑a+↑b+↑c)・・・答え

回答No.1

ereserve67

△OB'Cと直線BC'でメネラウスの定理を用います．

(OB/BB')(B'D/DC)(CC'/C'O)=(3/1)(B'D/DC)(1/2)=(3/2)(B'D/DC)=1ゆえにB'D:DC=2:3．

∴OD=(3OB'+2OC)/(2+3)=(2b+2c)/5=(2/5)(b+c)

EはAD上にあるから

AE=kAD

∴OE=OA+AE=a+kAD=a+k(OD-OA)=a+k(2/5)(b+c)-ka=(1-k)a+(2k/5)b+(2k/5)c

ここでa=(3/2)OA'であるから，

OE=(1-k)(3/2)OA'+(2k/5)OB+(2k/5)OC

Eは平面A'BC上にあるから

(1-k)(3/2)+2k/5+2k/5=3/2-7k/10=1,1/2=7k/10,k=5/7．

よって

OE=(2/7)(a+b+c)