中点連結定理をつかった証明

質問

三角形ABCの辺BC、CA、ABの中点をそれぞれD、E、Fとする。三角形ABCの内部に点Oをとり、線分OA、OB、OCの中点をそれぞれP、Q、Rとするとき、3直線DP、EQ、FRは1点で交わることを証明せよという問題が出されたんですがどのように証明したらいいかよくわかりません。
絵を描いたら点OでDP、EQ、FRが１点で交わったんです。
これは中点連結定理を使うとできそうなんですが、wikipedia(http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E7%82%B9%E9%80%A3%E7%B5%90%E5%AE%9A%E7%90%86
)で調べたけれどどのようにまとめて証明したらいいかわからないんです。
教えていただけないでしょうか？

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

＞絵を描いたら点OでDP、EQ、FRが１点で交わったんです。

点Oは、三角形ABCの内部の任意の点です。
たまたま点Oを三角形の重心にしたからそうなっただけで、点Oを別の位置にすれば別の場所で交わります。

証明方法は、
線分DEと線分QPは長さが同じで平行であることから、四角形DEPQは平行四辺形になり、その対角線DPとEQはそれぞれの中点で交わります。
同様に、DPとFRもそれぞれの中点で交わるので、DP、EQ、FRは１点で交わります。

お礼

なるほどわかりました。
ありがとうございます。