線形代数の線形写像の問題です

質問

以下の画像の問題です。
わかる方お手数ですが教えてください。
お願い致します。

回答No.2

011011gb

https://multimedia.okwave.jp/image/questions/25/250086/250086_original.jpg

　　　　　　　　Ker(f)={0,0,0,0} ではない ことはよく理解出来ました。

　　　　　　　　退化する様子を　知りたいので,...
https://www.youtube.com/watch?v=NSHF-HQbjgU&list=RDNSHF-HQbjgU#t=22

x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 4844　　なる超球面　S の　fによる　像 f(S) を求めてください;

f(x,y,z,w)=(31,-108,293) なる　(x,y,z,w)達を求めて下さい;

S∩Z^4 を求め　；

獲た　各格子点の　fに　よる　像を求めて下さい；

回答No.1

jcpmutura

f:R^4→R^3
f(x;y;z;w)
=
(x-y+3z)
(-2x+y-4z+w)
(5x-2y+9z-3w)
=
(1,-1,3.,0)(x)
(-2,1,-4,1)(y)
(5,-2,9,-3)(z)
だから
1)
fの表現行列は
(1,-1,3.,0)
(-2,1,-4,1)
(5,-2,9,-3)

2)
(x;y;z;w)∈kerf
とすると
f(x;y;z;w)=0
=
x-y+3z=0…(1)
-2x+y-4z+w=0…(2)
5x-2y+9z-3w=0…(3)
だから
(1)にyを加え左右を入れ替えると
y=x+3z…(4)
(1)に(2)を加えると
-x-z+w=0
両辺にx+zを加えると
w=x+z
これと(4)から
(x;y;z;w)
=(x;x+3z;z;x+z)
=(x;x;0;x)+(0;3z;z;z)
=x(1;1;0;1)+z(0:3;1;1)

f(1;1;0;1)=(1-1+3*0=0;-2*1+1-4*0+1=0;5*1-2*1+9*0-3*1=0)
だから
(1;1;0;1)∈kerf
f(0;3;0;1)=(0-3+3*1=0;-2*0+3-4*1+1=0;5*0-2*3+9*1-3*1=0)
だから
(0;3;0;1)∈kerf
だから
{(1;1;0;1),(0:3;1;1)}はkerfの生成系

x(1;1;0;1)+z(0:3;1;1)=(0;0;0;0)
とすると
x(1;1;0;1)+z(0:3;1;1)=(x;x+3z;z;x+z)=(0;0;0;0)
だから
x=z=0
だから
{(1;1;0;1),(0:3;1;1)}は1次独立
だから
{(1;1;0;1),(0:3;1;1)}はkerfの基底
基底要素数は2だから
kerfの次元は
dim(kerf)=2

3)

f(x;y;z;w)
=(x-y+3z;-2x+y-4z+w;5x-2y+9z-3w)
=x(1;-2;5)+y(-1;1;-2)+z(3;-4;9)+w(0;1;-3)
↓(1;-2;5)={-(-1;1;-2)-(0;1;-3)}
↓(3;-4;9)={-3(-1;1;-2)-(0;1;-3)}だから
=x{-(-1;1;-2)-(0;1;-3)}+y(-1;1;-2)+z{-3(-1;1;-2)-(0;1;-3)}+w(0;1;-3)
=(y-3z-x)(-1;1;-2)+(w-x-z)(0;1;-3)

f(0;1;0;0)=(-1;1;-2)∈Imf
f(0;0;0;1)=(0;1;-3)∈Imf
だから
{(-1;1;-2),(0;1;-3)}はImfの生成系

a(-1;1;-2)+b(0;1;-3)=(0;0;0)
とすると
a(-1;1;-2)+b(0;1;-3)
=(-a;a;-2a)+(0;b;-3b)
=(-a:a+b;-2a-3b)=(0;0;0)
-a=0→a=0→b=0→a=b=0
だから
{(-1;1;-2),(0;1;-3)}は1次独立だから
{(-1;1;-2),(0;1;-3)}はImfの基底
基底要素数は2だから
Imfの次元は
dim(Imf)=2