線形代数の問題です。

質問

問題は添付画像を参照してください。
（２）が解けそうで解けません。
自力で解いてみたものの、（１）を用いようとしても利用が難しく、困っています。

可能であれば具体的に解説よろしくお願いします。

f_A(X)=XA-AX
f_A(XA-AX)=(f_A)^2(X)=XA^2-2AXA+XA^2
・・・・
という風になりますが。。。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

え～, じっと見ればわかるはずだけど
f_A(f_A(X)) = f_A(XA - AX)
= (XA - AX)A - A(XA - AX)
= XA^2 - AXA - AXA + A^2X
= XA^2 - 2AXA + A^2X
です....

ついでにいうと,
(ｆ_A)^m=∑[k=0,n]A^k・X・A^(n-k)
はちょっとだけ間違ってる (右辺に m がないとか, m=2 でも上の式とあわないとか...). まあ, この問題を解くだけなら関係ないんだけど.

お礼

ありがとうございました！間違いに気付きました。
おかげで解決できました。
丁寧に説明いただき、ありがとうございました。
これからもよろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan

ん? 「写像の積ではなく、合成を考えていました。」ってどういうこと?

いや, こんなの当然に合成写像を考えるわけだし, #1 でもその意味で使ってる.

どこを「写像の積 (ってなんだ)」と解釈されちゃったんだろ....

補足

言葉が伝わらず申し訳ありません。
合成写像を考えると、質問の中に書いたような式になると思いました。
それが違うということだったので、考え方が違うものと思い、下のような発言になりました。

回答No.1

Tacosan

とりあえず (f_A)^2(X) は間違ってるよ.

さておき, (1) を使うことを考えるなら
f_A の固有値がすべて 0 ← f_A を表す行列がべき零 ← 任意の X に対して (f_A)^k(X) = O であるような整数 k が存在する
とさかのぼって, この最後が「A がべき零」という条件から導けることを言えばいい.

(f_A)^4 あたりまで頑張って計算してみて, 「規則性」を見つけてみてはどうだろうか.

お礼

ありがとうございます。

写像の積ではなく、合成を考えていました。
そうすると、f○ｆ○ｆ…○ｆ=(f_A)^m(X)　と定義すると、
(ｆ_A)^m=∑[k=0,n]A^k・X・A^(n-k) という規則性があります。
そこから考えたく、m回合成したものを考えていました。

ｆとｆの積は単純に二項定理で表現できると思いますので、考えてみます。