線形代数の問題について

質問

以下の二問がわからず、困っています。
ガリガリと計算しましたが、どうも解答できません。
どなたか詳しい方がおられましたらご教授お願いいたします。

問題１

3×3の行列
A=
|3 -2 -2|
|-1 -1 1|
|5 -2 -4|

とする。
この時、AP = PD を満たす行列 P を１つ定めよ。
またその時の　D　を求めよ。
ここで　D　は　対角行列とする。ただし P は零行列ではない。

問題２

3×3の行列
A=
|1 a a|
|a 1 0|
|a 0 1|

(a≠0)

のとき、行列Aが正則であるためのaの条件を示せ。

回答No.4

kts2371148 · ベストアンサー

申し訳ありません。私が間違っていました。
ということは、
λ^3 + 2λ^2 - λ - 2 = (λ-1)(λ+1)(λ+2) = 0
ですから、対角化もそこまでは難しくないようです。

お礼

わざわざ計算して頂きどうもすみません。
私はよく計算間違いをするので、なかなか自分の答えに自信が
もてず、いつも「これでいいのか？」と半信半疑です。

固有値もきれいな値がでているので、この先も計算が楽そうで
少し安心しました。
数日に渡り、ありがとうございました。

回答No.3

kts2371148

>> 私が計算するとどうしても
>> |A-λI|　=　λ^3 + 2λ^2 　-λ -　2　= 0
>> となってしまいます。

計算間違いなのか、どこかで根本的に違うのか…
途中の計算を書いて頂ければ、助けになれるかもしれません。

お礼

kts2371148さま、お忙しいところ何度も申し訳ございません。

＞計算間違いなのか、どこかで根本的に違うのか…
何度計算しても同じ結果になってしまうので、やはり根本的に計算が
違っているのかもしれません。

以下が、私が計算した方法での途中式です。

E:単位行列として、サルスの方法より
|λE-A|
=
|λ-3 　 2 　2|
|1 　λ+1 　 -1|
|-5 　 2 　 λ+4|

=(λ-3)(λ+1)(λ+4)+2*(-1)+(-5) + 1*2*2
-{-5*2*(λ+1)+2*1*(λ+4)+(-1)*2*(λ-3)}

=λ^3 + 2λ^2 -λ-2

となります。
何か、考え違いをしているのでしょうか？

回答No.2

kts2371148

>> ご指摘のとおり固有ベクトルと対角化を目指して計算しました。

基本的な方針はそれでＯＫです。
|A-λI| = -λ^3 + 6λ^2 - 15λ - 22 = 0
λ^3 - 6λ^2 + 15λ + 22 = 0　となり、
実数解が１つと虚数解が２つになるはずです。
（実数解は λ = -1 です。）

さて、ここから対角化しようとすると、
虚数解が２つありますからかなり大変です。
しかし、問題では
>> この時、AP = PD を満たす行列 P を１つ定めよ。
としか言っていませんから、対角化する必要はありません。
AP = PD を満たす行列 P のうち、
零行列でないものをどれか１つ答えればＯＫです。

λ=-1 に対応する固有ベクトルを [ [x1] [x2] [x3] ] とします。
（これは列ベクトルです。）
これは (A - λI) x↑ = 0↑ を満たす x↑ を求めているわけですから、
移行すると、A x↑ = λI x↑ = λ x↑ となります。ですから、

P =
[ x1 x1 x1 ]
[ x2 x2 x2 ]
[ x3 x3 x3 ]

D =
[ -1 0 0 ]
[ 0 -1 0 ]
[ 0 0 -1 ]

は条件を満たすはずです。
ですから、上記行列 P を回答すればよいでしょう。
（もちろん、頑張って対角化して、求めた行列を答えてもＯＫです。）

お礼

kts2371148さん、ご解答ありがとうございます！

＞|A-λI| = -λ^3 + 6λ^2 - 15λ - 22 = 0
とのことですが、私が計算するとどうしても

|A-λI|　=　λ^3 + 2λ^2 　-λ -　2　= 0

となってしまいます。
よく計算間違えをしてしまうので自信がないのですが・・・
うーむ。

＞対角化する必要はありません
なるほど、わざわざ対角化しなくてもいいのですね！
実際に計算してみると、わけがわからなくなってしまい、確認で計算しても対角行列にならなくなってしまって、ちんぷんかんぷんになってしまいました。

最終的な数値まで導出して頂き、ありがとうございます！

回答No.1

takusoe

1は行列の対角化ですよね。
固有値、固有ベクトルの話を本で勉強すれば
固有ベクトルで成される行列がPとなって
固有値が対角に現れるDが作れることがわかりますよ。

２については
detA=1-a-a^2
とサラスの公式で一発なので調べて見てください。
あとはこのaについての二次方程式を解くだけです

お礼

素早いご解答、ありがとうございます！！

問題１はご指摘のとおり固有ベクトルと対角化を目指して計算しました。・・・でも対角化できませんでした。
おそらく途中で計算間違えをしているのでしょうね。

AP = PD　　の両辺に左からP^(-1) をかけて
p^(-1)AP = D
とすればよく見る形に変形できるのですね。

問題２は逆行列の存在を示せばいいのですね。
刷き出し法ではなく、余因子行列をつかった逆行列を考えて

0 ≠　1-a-a^2

となる a を求めればよいと。

非常に助かりました！
どうもありがとうございました。