線形代数（写像,部分空間など）について

質問

問題は以下のURLにまとめました.
4題あるのですが,1問だけでも全然かまいません.
また,解くためのコツやアドバイスでもいただけたら大変助かります.

問題URL：http://fragrance.ninja-web.net/

よろしくお願いします.

回答No.1

PRFRD

後でその質疑応答を見た人が参考にできるように，
質問文はここに書く/添付するようにしてください．
特に，解決した後に消すやり方は，質疑応答が資産とならず，
OKWaveの方針に反しています．

より具体的には，禁止事項の
　■会員自身の運営するサイト・ブログ等を開示する投稿
に反しています．

以下解答です．

(1)
二次形式を作るので非対称な A ではなく，
対称な B = (A + A^T)/2 を考えます．
(Ax,x) = (Bx,x) が成り立つことに注意してください．

B の固有値は 1, 1-√5, 1+√5 となります．
それらに対応する（正規化された）固有ベクトルを u, v, w として
任意の x について，x を x = f1 u + f2 v + f3 w と展開しておきます．
ただし f1 = (u,x), f2 = (v,x), f3 = (w,x) です．すると
(Ax,x) = (Bx,x) = f1^2 + f2^2 (1-√5) + f3^2 (1+√5)
となるので，固有値の符号に注意して f2, f3 を適当に定数倍することで
(Ax,x) = (Bx,x) = f1^2 - f2^2 + 2 f3^2
とできます．
Sylvesterの標準形の近辺を勉強してください．

(2) ただ計算するだけです．
A を行で掃きだすことにより，適当な正則行列 T を用いて
T A = |1 -1 0|
　　　|0　2 1|
　　　|0　0 0|
とできることがわかります．
よって T A = O を解いて Ker A = Ker (T A) = span { (1,1,-2) } を得ます．
次に A を列で掃きだすことにより，適当な正則行列 S を用いて
A S = | 1　0 0|
　　　| 0　1 0|
　　　|-1 -1 0|
とできることがわかります．よって
Im A = Im (A S) = span { (1,0,-1), (0,1,-1) } = span { (1,1,-2), (1,0,-1) }
となるので，条件を満たす基底として {(1,1,-2), (1,0,-1)} が取れます．

(3) 線型空間の条件を確認するだけです．
u, v ∈ V, a, b ∈ R を取ると
A^m (a u + b v) = a (A^m u) + b (A^m v )
で，両辺 m → ∞ とすれば
lim A^m (a u + b v) = 0
を得ます．

(4) V = Ker A, W = Im A であり，これらが線型空間なのは (2) で使っていますが，
それを確認する，という問題なのだと思います．
V: 任意の u, v ∈ V, a, b ∈ R を取ると
A (a u + b v) = a (A u) + b (B v) = 0 ∴ (a u + b v) ∈ V
W: 任意の u, v ∈ W, a, b ∈ R をとると u = A x, v = A y なる x, y を取って
a u + b v = a (A x) + b (A y) = A (a x + b y) ∈ W．