線形代数のグラマーシュミットの問題

質問

画像の問題が解けず困っております。
よろしくお願い申し上げます。

回答No.1

jcpmutura

(1)
u1
=a/|a|
=(1;1;-1)/√{1^2+1^2+(-1)^2}
=(1;1;-1)/√3
=(1/√3;1/√3;-1/√3)

b-(u1,b)u1=b-(|b|cost)u1
=(4;4;-1)-(1/√3,1/√3,-1/√3)(4;4;-1)(1/√3;1/√3;-1/√3)
=(4;4;-1)-(4/√3+4/√3+1/√3)(1/√3;1/√3;-1/√3)
=(4;4;-1)-(9/√3)(1/√3;1/√3;-1/√3)
=(4;4;-1)-(3√3)(1/√3;1/√3;-1/√3)
=(4;4;-1)-(3;3;-3)
=(1;1;2)

|b-(u1,b)u1|=√(1^2+1^2+2^2)=√(1+1+4)=√6

u2
={b-(u1,b)u1}/|b-(u1,b)u1|
=(1;1;2)/√6
=(1/√6;1/√6;2/√6)

c-(u1,c)u1-(u2,c)u2
=(2;4;3)-(1/√3,1/√3,-1/√3)(2;4;3)(1/√3;1/√3;-1/√3)-(1/√6,1/√6,2/√6)(2;4;3)(1/√6;1/√6;2/√6)
=(2;4;3)-(2/√3+4/√3-3/√3)(1/√3;1/√3;-1/√3)-(2/√6+4/√6+6/√6)(1/√6;1/√6;2/√6)
=(2;4;3)-(3/√3)(1/√3;1/√3;-1/√3)-(12/√6)(1/√6;1/√6;2/√6)
=(2;4;3)-(√3)(1/√3;1/√3;-1/√3)-(2√6)(1/√6;1/√6;2/√6)
=(2;4;3)-(1;1;-1)-(2;2;4)
=(2-1-2;4-1-2;3+1-4)
=(-1,1,0)

|c-(u1,c)u1-(u2,c)u2|=√((-1)^2+1^2+0^2)=√2

u3
={c-(u1,c)u1-(u2,c)u2}/|c-(u1,c)u1-(u2,c)u2|
=(-1;1;0)/√2
=(-1/√2,1/√2,0)

∴
u1=(1/√3;1/√3;-1/√3)
u2=(1/√6;1/√6;2/√6)
u3=(-1/√2,1/√2,0)

(2)
A=(a,b,c)
とすると
u
=(1;-1;2)
=xa+yb+zc
=(a,b,c)(x;y;z)
=A(x;y;z)

A^{-1}(1;-1;2)=(x;y;z)

A=
(1.,4.,2)
(1.,4.,4)
(-1,-1,3)

A^{-1}
=
(-8/3,7/3,-4/3)
(7/6,-5/6,1/3.)
(-1/2,1/2.,0..)

(x;y;z)
=A^{-1}(1;-1;2)
=
(-8/3,7/3,-4/3)(1)
(7/6,-5/6,1/3.)(-1)
(-1/2,1/2.,0..)(2)
=
(-8/3-7/3-4*2/3;7/6+5/6+2/3;-1/2-1/2)
=
(-23/3;8/3;-1)
∴
u=(-23/3)a+(8/3)b-c

B=(u1,u2,u3)
とすると

u
=(1;-1;2)
=xu1+yu2+zu3
=(u1,u2,u3)(x;y;z)
=B(x;y;z)

B^{-1}(1;-1;2)=(x;y;z)

B=(u1;u2;u3)
=
(1/√3,1/√6,-1/√2)
(1/√3,1/√6,1/√2.)
(-1/√3,2/√6,0....)

B^{-1}
=
(1/√3,1/√3,-1/√3)
(1/√6,1/√6,2/√6.)
(-1/√2,1/√2,0....)

(x;y;z)
=B^{-1}(1;-1;2)
=
(1/√3,1/√3,-1/√3)(1)
(1/√6,1/√6,2/√6.)(-1)
(-1/√2,1/√2,0....)(2)
=
(-2/√3;4/√6;-√2)
∴
u=(-2/√3)u1+(4/√6)u2-(√2)u3