線形代数の基底と次元を求める問題

質問

以下の画像の問題が解けず困っております。
よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura

W1
={(x;y;z;w)|x+y+2z+w=0}
={(x;y;z;w)|w=-x-y-2z}
={(x;y;z;-x-y-2z)}

(x;y;z;-x-y-2z)
=(x;0;0;-x)+(0;y;0;-y)+(0;0;z;-2z)
=x(1;0;0;-1)+y(0;1;0;-1)+z(0;0;1;-2)
だから
{(1;0;0;-1),(0;1;0;-1),(0;0;1;-2)}
はW1の生成系

x(1;0;0;-1)+y(0;1;0;-1)+z(0;0;1;-2)=(0;0;0;0)
の時x=y=z=0となるから
{(1;0;0;-1),(0;1;0;-1),(0;0;1;-2)}
は1次独立だから
{(1;0;0;-1),(0;1;0;-1),(0;0;1;-2)}
はW1の基底
基底要素数は3だから
W1の次元は
dim(W1)=3

W2={(x;y;z;w)|3x+2y+4z+6w=0,2x+y+3z+4w=0}

3x+2y+4z+6w=0…(1)
2x+y+3z+4w=0…(2)
両辺に2をかけると
4x+2y+6z+8w=0
これから(1)を引くと
x+2z+2w=0
両辺から2z+2wを引くと
x=-2z-2w…(3)
これを(2)に代入すると
2(-2z-2w)+y+3z+4w=0
-4z-4w+y+3z+4w=0
y-z=0
両辺にzを加えると
y=z…(4)
これと(3)から
(x;y;z;w)
=(-2z-2w;z;z;w)
=(-2z;z;z;0)+(-2w;0;0;w)
=z(-2;1;1;0)+w(-2;0;0;1)
だから
{(-2;1;1;0),(-2;0;0;1)}はW2の生成系
z(-2;1;1;0)+w(-2;0;0;1)=(0;0;0;0)
の時z=w=0となるから
{(-2;1;1;0),(-2;0;0;1)}
は1次独立だから
{(-2;1;1;0),(-2;0;0;1)}
はW2の基底
基底要素数は2だから
W2の次元は
dim(W2)=2

(3),(4)から
W1∩W2={(x;y;z;w)|x+y+2z+w=0,x=-2z-2w,y=z}
x+y+2z+w=0
(3),(4)をこれに代入すると
-2z-2w+z+2z+w=0
z-w=0
両辺にwを加えると
z=w
これを(3)に代入すると
x=-4z

(x;y;z;w)
=(-4z;z;z;z)
=z(-4;1;1;1)
だから
{(-4;1;1;1)}
はW1∩W2の基底
基底要素数は1だから
W1∩W2の次元は
dim(W1∩W2)=1

W1+W2の次元は
dim(W1+W2)
=dim(W1)+dim(W2)-dim(W1∩W2)
=3+2-1
=4

W1∩W2の基底はW1の基底の1次結合
(-4;1;1;1)=-4(1;0;0;-1)+(0;1;0;-1)+(0;0;1;-2)
(0;0;1;-2)と(-4;1;1;1)を基底交換する
(0;0;1;-2)=(-4;1;1;1)+4(1;0;0;-1)-(0;1;0;-1)

W1∩W2の基底はW2の基底の1次結合
(-4;1;1;1)=(-2;1;1;0)+(-2;0;0;1)
(-2;1;1;0)と(-4;1;1;1)を基底交換する
(-2;1;1;0)=(-4;1;1;1)-(-2;0;0;1)

x(1;0;0;-1)+y(0;1;0;-1)+z(-2;0;0;1)+w(-4;1;1;1)=0
とすると
(x-2z-4w,y+w;w;-x-y+z+w)=0
w=0→y=0→x-2z=0,-x+z=0→x=y=z=w=0
だから
{(1;0;0;-1),(0;1;0;-1),(-2;0;0;1),(-4;1;1;1)}
は1次独立だから
{(1;0;0;-1),(0;1;0;-1),(-2;0;0;1),(-4;1;1;1)}
はW1+W2の基底