線形代数の写像の問題です

質問

教科書の問題ですが、
「集合Ａ，Ｂがそれぞれm,n個の元からなるとする。
1)AからＢへの写像の個数を求めよ。
2)ＡからＢへの単射の個数を求めよ。
3)ＡからＢへの全単射の個数を求めよ。」
質問です。f：A→Bが写像なので、m個だと思いましたが、1)の答えはn^m、2)の答えはm≦nの時、nPm、3)の答えはm=nの時m!となっています。
どのように理解したらよいのか分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

集合Ａ，Ｂ
に対して
|A|=m
|B|=n
f:A={1,…,m}→B={1,…,n}
とする
1)
AからBへの写像の個数は
Bのn個の元の中から重複を許して
f(1),f(2),…,f(m)
のm個の元を取り出して並べる場合の数と同じだから
f(1)=1～nのn通りに対して
f(2)=1～nのn通りに対して
…
f(m)=1～nのn通りあるから
n*n*…*n=n^m通りある
∴
AからBへの写像の個数は
n^m

|B|=n=1の時
B={1}
|A|=mがどんな値m>1であっても
f(A)={1}
の1通りの写像しかないのでm個ではありません

2)
AからBへの単射の個数は
Bのn個の元の中から異なる
f(1),f(2),…,f(m)
のm個の元を取り出して並べる順列の場合の数と同じだから
m≦nの時
f(1)=1～nのn通りに対して
f(2)≠f(1)のn-1通りに対して
f(3)≠f(1),≠f(2)のn-2通りに対して
…
f(m)≠f(1),…≠f(m-1)のn-m+1通りあるから
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!/(n-m)!=nPm
m>nの時0
∴
AからBへの単射の個数は
m≦nの時nPm
m>nの時0

3)
AからBへの全単射の個数は
|A|=m=n=|B|の時(2)と同じだから
n(n-1)(n-2)…1=n!/0!=nPn=mPm=m!

AからBへの全単射の個数は
m=nの時m!
m≠nの時0

お礼

jcpmutura さま
とても分かりやすい解説有難うございます。写像について、少し賢くなれました。