線形代数学の線形写像について

質問

行列A(3×3)
[ 1 1 1]
[-4 -3 -7]で定まるR^3の線形変換fについて以下のものを求めて下さい。
[ 2 1 5]
(1)[1 1 2](の縦ベクトル)の逆像
(2)[2 2 -6](の縦ベクトル)の逆像

回答No.1

f272

点(x,y,z)がその変換によって(1,1,2)に移るのなら
x+y+z=1
-4x-3y-7z=1
2x+y+5z=2
です。(第1式)*2+(第2式)+(第3式)を計算すると0=5となるので，上記の3式を同時に満たす(x,y,z)はありません。つまり(1,1,2)^tの逆像は空集合です。

点(x,y,z)がその変換によって(2,2,-6)に移るのなら
x+y+z=2
-4x-3y-7z=2
2x+y+5z=-6
です。この連立方程式を解けばtを任意の実数としてx=-4t-8，y=3t+10，z=tとなります。つまりつまり(2,2,-6)^tの逆像は前期の式で表現される直線です。