不定方程式 etc

質問

投稿者：壊れた扉 投稿日：2017年 9月28日(木)07時56分55秒 問題
　　　　　　　　　　　６０ｘ^2＋１＝ｙ^2　　「<---- 2次曲線ですね」
　　　が成り立つ自然数の組（ｘ，ｙ）は無限に存在する事を証明せよ。

に　触　発され　少女　A が　↓問群を　産んだ;

　　(x + y - 1) (3 x + 2 y - 12) + (3 x - y + 2) (-2 x + 5 y - 11) = 0
なる 2次曲線　c は(3 x + 2 y - 12)=0,(-2 x + 5 y - 11)=0の交点を当然通る。
此れを　大Hint にし

(1) c 上の格子点が　無限に存在すれば　其れを証明し,

　　　　 具体例　を　ゴ*19 組　例示願います;

(2) cの双対曲線　c^★　を　多様な発想で求めて下さい；

(3) c^★ 上には格子点が皆無であれば　其れを証明して下さい;

(4) c^★ 上に 有理点は 無論　無限に存在します。其れを　ゴ*9 組　例示願います;

少女　A は　(問題群)多産 で　ある。問題群を産み　解いて下さい;

(k) (k∈{5,6,7,......,2017,.....}

https://www.google.co.jp/search?q=%E5%A4%9A%E7%94%A3&hl=ja&rlz=1T4GGNI_ja___JP534&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiy7PHAhMfWAhXLE7wKHR6GA7AQ_AUICygC&biw=1280&bih=511&dpr=1.5

回答No.1

sunabo

解の公式を用いてごり押ししてみる。
全部展開。
-3x^2-3y^2+22xy-52x+7y-10=0　-----C

yについてまとめる。
-3y^2+y(22x+7)-3x^2-52x-10=0
yについて解の公式で解く。
y=1/6(22x+7±√(448x^2-316x-71))　----A

ルートの中身が何かの数の2乗になればyが整数になる。
何かの数をaとおく
a=448x^2-316x-71
xを-28～28まで整数で変えてaと√aをエクセルで計算する。
x 　　a　 　 √a 　　 　　 x 　　 a 　　 √a
0 　-71 　エラー:502 　　
1 　61 　7.8102496759 　-1 693 26.3248931622
2 　1089 　33　　　　 　-2 2353 48.5077313425
3 　3013 54.8908006865 -3 4909 70.0642562224
4 　5833 76.3740793725 -4 8361 91.4385039248
5 　9549 97.7189848494 -5 12709 112.7342006669
6 　14161 　119　　　　 -6 17953 133.9888055026
7 　19669 140.2462120701 -7 24093 155.2191998433
8 　26073 161.4713596896 -8 31129 176.4341236836
9 　33373 182.6827851769 -9 39061 197.6385589909
10 　41569 203.8847713783 -10 47889 218.835554698
11 　50661 225.0799857828 -11 57613 240.0270818054
12 　60649 246.2701768384 -12 68233 261.2144712683
13 　71533 267.4565385254 -13 79749 282.3986543877
14 　83313 288.6399140798 -14 92161 303.5803023913
15 　95989 309.8209160144 -15 105469 324.7599113191
16 　109561 　331　　　　　 -16 119673 345.9378556909
17 　124029 352.1775120589 -17 134773 367.1144235794
18 　139393 373.3537196815 -18 150769 388.2898401967
19 　155653 394.5288329134 -19 167661 409.4642841568
20 　172809 415.7030189931 -20 185449 430.637898936
21 　190861 436.8764127302 -21 204133 451.8108011104
22 　209809 458.0491240031 -22 223713 472.9830863784
23 　229653 479.2212432687 -23 244189 494.1548340348
24 　250393 500.3928456723 -24 265561 515.3261103418
25 　272029 521.563994156 -25 287829 536.4969711005
26 　294561 542.7347418399 -26 310993 557.6674636376
27 　317989 563.9051338656 -27 335053 578.8376283553
28 　342313 585.0752088407 -28 360009 600.0074999531

√aが整数となるxは、2,6,16の三つ。
Aに代入して手計算しても良いが横着をして計算サイトでCを
x=2,6,16を代入して解く。
-3*2^2-3y^2+22*2*y-52*2+7y-10=0　 -----C2
-3*6^2-3y^2+22*6*y-52*6+7y-10=0　 -----C6
-3*16^2-3y^2+22*16*y-52*16+7y-10=0　-----C16
http://www.wolframalpha.com/input/?i=-3x%5E2-3y%5E2%2B22xy-52x%2B7y-10%3D0

でてくるは(x,yは六つ。(x,y)=(2,3),(2,14),(6,10/3),(6,43),(16,14/3),(16,115)
そのうち格子点は四つ。(x,y)=(2,3),(2,14),(6,43),(16,115)
(1)C上に格子点が無数にあるかどうかはわからないが少なくと
も四つある。

参考URL　数の不思議世界　に答えが書いてありそうなので読
まなかった。

参考URL：

http://9010.teacup.com/1942may/bbs?page=3&