- ベストアンサー
一般論が欲しい
- c1は双曲線であり,漸近線が存在する
- 漸近線を求め、不定方程式(Diophantine equation)方程式c1∩Z^2の全ての元を求めてください
- c2は双曲線であり、漸近線が存在し、c2の双対曲線はc1です
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(一) 展開して,ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0の形にする c1は展開済みなのでc2を展開する c2;{-3(x-y)+x+8}^2-{5(x+y)-2y+1}^2+1071=0 ↓ x^2+2xy+2x-2y-54=0…(c2) (二) 座標平行移動(x-a=X,y-b=Y)して,X,Yの1次の項を消す c1;x^2-106xy+2x+55y^2-4y+1=0 x=X+a y=Y+b とすると (X+a)^2-106(X+a)(Y+b)+2(X+a)+55(Y+b)^2-4(Y+b)+1=0 X^2-106XY+55Y^2+(2a-106b+2)X+(110b-106a-4)Y+a^2-106ab+2a+55b^2-4b+1=0…(c1') XとYの1次の項を0にすると 2a-106b+2=0 110b-106a-4=0 ↓a,bの連立1次方程式を解くと b=1/54 a=-1/54 これを(c1')に代入すると X^2-106XY+55Y^2+17/18=0,(X=x+1/54,Y=y-1/54)…(c1") c2;x^2+2xy+2x-2y-54=0 x=X+a y=Y+b とすると (X+a)^2+2(X+a)(Y+b)+2(X+a)-2(Y+b)-54=0 X^2+2XY+2(a+b+1)X+2(a-1)Y+a^2+2ab+2a-2b-54=0…(c2') XとYの1次の項を0とすると a+b+1=0 a-1=0 ↓a,bの連立1次方程式を解くと a=1 b=-2 これを(c2')に代入すると ↓ X^2+2XY-51=0,(X=x-1,Y=y+2)…(c2") (三) 座標変換して,XYの項を消し双曲線の判定を行う c1":X^2-106XY+55Y^2+17/18=0 ↓ (X-53Y)^2-2754Y^2+17/18=0 1*(-2754)<0 だから c1"は双曲線だから c1は双曲線である c2";X^2+2XY-51=0 (X+Y)^2-Y^2-51=0 1*(-1)<0だから c2"は双曲線だから c2は双曲線である (四) 漸近線を求める c1";X^2-106XY+55Y^2+17/18=0,(X=x+1/54,Y=y-1/54) だから c1の漸近線は ∴ (x+1/54)^2-106(x+1/54)(y-1/54)+55(y-1/54)=0 c2";X^2+2XY-51=0,(X=x-1,Y=y+2) だから c2の漸近線は x=1 x+2y+3=0 である (五) 不定方程式の解を求める (c2) c2";X^2+2XY-51=0,(X=x-1,Y=y+2) X^2+2XY=51 X(X+2Y)=51 X=x-1 Y=y+2 だから (x-1)(x+2y+3)=51 =(-51)(-1)→(x,y)=(-50,23) =(-17)(-3)→(x,y)=(-16,5) =(-3)(-17)→(x,y)=(-2,-9) =(-1)(-51)→(x,y)=(0,-27) =(1)(51)→(x,y)=(2,23) =(3)(17)→(x,y)=(4,5) =(17)(3)→(x,y)=(18,-9) =(51)(1)→(x,y)=(52,-27) ∴ c2∩Z^2={(-50,23),(-16,5),(-2,-9),(0,-27),(2,23),(4,5),(18,-9),(52,-27)} (c1) c1";X^2-106XY+55Y^2+17/18=0 に X=x+1/54 Y=y-1/54 を代入すると (x+1/54)^2-106(x+1/54)(y-1/54)+55(y-1/54)^2+17/18=0 17(54y-1)^2-18(x-53y+1)^2=17 X=|54y-1| Y=|x-53y+1| とすると 17X^2-18Y^2=17…(c1"') λ=35+6√34 実数tに対して X(t)=(λ^t+λ^{-t})/2 Y(t)=(√34)(λ^t-λ^{-t})/12 とすると 17X(t)^2-18Y(t)^2=17 だから すべての実数tに対して (X(t);Y(t))は双曲線(c1"')上の点となる X(t)=35X(t-1)+36Y(t-1)…(x1) Y(t)=34X(t-1)+35Y(t-1)…(x2) X(t-1)=35X(t)-36Y(t) Y(t-1)=-34X(t)+35Y(t) だから (X(t);Y(t))が双曲線(c1"')上の格子点ならば 全ての整数nに対して (X(t+n);Y(t+n))は双曲線(c1"')上の格子点となる…(x3) (X(0);Y(0))=(1;0)は双曲線(c1"')上の格子点だから 全ての整数nに対して (X(n);Y(n))は双曲線(c1"')上の格子点となる 双曲線(c1)に格子点(x;y)があれば X=|54y-1|≧1 Y=|x-53y+1|≧0 とすると (X;Y)は双曲線(c1"')上の格子点で t=log{X+6Y/(√34)}/logλ≧0 とすると X(t)=X Y(t)=Y だから m=int(t)≧0 とすると 0≦t-m<1 (x3)から (X(t-m);Y(t-m))も双曲線(c1"')上の格子点となる T=t-mとする X'(T)=logλ(λ^T-λ^{-T})/2≧0 Y'(T)=(√34)logλ(λ^T+λ^{-T})/12>0 だから0≦T<1でX(T),Y(T)は増加関数だから 1=X(0)≦X(T)<X(1)=35 0=Y(0)≦Y(T)<Y(1)=34 17{X(T)^2-1}=18Y(T)^2=0(mod17)だから Y(T)=0(mod17),0≦Y(T)<34だから Y(T)=0.又は.Y(T)=17 Y(T)=17を仮定すると X(T)^2=18*17+1=307 X(T)=√307≒17.5214だから (X(T);Y(T))が格子点である事に矛盾するから Y(T)=0だから1≦X(T)<35だから X(T)=1だからT=0だからt=mだから (X(m);Y(m))=(|54y-1|;|x-53y+1|)…(x4) X(0)=1(mod54) X(1)=35=-19(mod54) X(2)=19(mod54) A= (35,36) (34,35) とすると A^3= (-1,0.)(mod54) (30,-1) (x1),(x2)から 非負整数k≧0に対して (X(k+3);Y(k+3))=A^3(X(k);Y(k)) ↓ 非負整数k≧0に対して X(k)=1(mod54)の時X(k+3)=-1(mod54) X(k)=-1(mod54)の時X(k+3)=(-1)^2=1(mod54) X(k)=19(mod54)の時X(k+3)=-19(mod54) X(k)=-19(mod54)の時X(k+3)=-(-19)=19(mod54) ↓ 非負整数n≧0に対して X(3n)=(-1)^n(mod54) X(3n+1)=19(-1)^{n+1}(mod54) X(3n+2)=19(-1)^n(mod54) (x4)から 非負整数m≧0に対して |54y-1|=X(m) だから X(m)=±1(mod54) だから X(m)=(-1)^n m=3n となる非負整数n≧0がある y(n)=[1-(-1)^k{X(3n)}]/54 x(±n)=53y(n)-1±Y(3n) とすれば |54y(n)-1|=X(3n) |x(±n)-53y(n)+1|=Y(3n) だから (x(±n),y(n))は双曲線(c1)上の格子点となる (x(0),y(0))=(-1,0) (x(-1),y(1))=(1655,3174) (x(1),y(1))=(334787,3174) …双曲線(c1)上の格子点数は∞ ∴ c1∩Z^2 = { (x(±n),y(n)) | x(±n)=53y(n)-1±(√34)(α^n-α^{-n})/12 y(n)=[1-(-1)^n(α^n+α^{-n})/2]/54 α=(35+6√34)^3 nは非負整数 } (六) c2の双対曲線はc1になる c2:x^2+2xy+2x-2y-54=0 ↓ c2:x^2+2y(x-1)+2x-54=0 c2の接線を y=ax+b としてその接点(x,y)のyをc2に代入すると x^2+2(ax+b)(x-1)+2x-54=0 (2a+1){x+(b-a+1)/(2a+1)}^2=2b+54+(b-a+1)^2/(2a+1) この接点のxの2次方程式は重根を持つから 2b+54+(b-a+1)^2/(2a+1)=0 a^2+106a+2ab+55+4b+b^2=0 a=-x/y b=-1/y とすると (x/y)^2-106x/y+2x/y^2+55-4/y+1/y^2=0 両辺にy^2をかけると c1:x^2-106xy+2x+55y^2-4y+1=0 だからc2の双対曲線はc1となる
