不定方程式

質問

C; 36*x^2 + 8*x*y + 14*x - 19*y^2 - 14*y + 14=0
は　「双曲線で　漸近線が在る」　と　少女A.

(うちの女房にゃ髭がある　は、1936年公開の千葉泰樹監督の日活映画。とAの傍らの祖父)

(1)C上の格子点をすべて求めて下さい;
(2)漸近線をも求めて下さい；

回答No.1

info222_

C; 36*x^2 + 8*x*y + 14*x - 19*y^2 - 14*y + 14=0 ...[1]
(1)
(x,y)をC上の格子点とすれば x,yは整数なので
y=(4*x-7±sqrt(35)*sqrt(20*x^2+6*x+9))/19
20*x^2+6*x+9>0
35(20*x^2+6*x+9)=k^2 (kは≠0, 整数)
20*x^2+6*x+9=35v^2 (v≠0,整数>0)
例えば v=1とすると,
20*x^2+6*x+9=35
これを満たす整数:x=1,この時y=-2
格子点:(x,y)=(1,-2)
etc.

(2)
漸近線: y=mx+n ...[2] ととおく。
[2]を[1]に代入して整理すると
h2*x^2+h1*x+h0=0 ...[3]
h2=-19*m^2+8*m+36 ...[4]
h1=-38*m*n+8*n-14*m+14 ...[5]
h0=-19*n^2-14*n+14 ...[6]

漸近線が満たすべき条件: h2=h1=0から
[m,n]=[-(2*(5*sqrt(7)-2))/19, -(3*sqrt(7)+14)/38] ...[7],
[(2*(5*sqrt(7)+2))/19, (3*sqrt(7)-14)/38] ...[8]

[2] に代入すれば 2本の漸近線:
y=-(2·(5 sqrt(7)-2)·x)/19-(3·sqrt(7)+14)/38 ...[9]
y=(2·(5·sqrt(7)+2)·x)/19+(3·sqrt(7)-14)/38 ... [10]
が求まる。
なお , 2本の漸近線の交点の 座標を求めて置くと
(-3/20, -2/5) ... (双曲線の中心座標)

補足

>格子点:(x,y)=(1,-2) etc.

etc の子細をこそ知りたい　と　少女A
知りたい　と　云わないひとは　いない
[知りたくないの・コニーフランシス ]