接線の方程式

質問

曲線y=f(x)上の点A(f,f(a)) における接線の方程式は，
y=f'(a)(x-a)+f(a)

と習いましたが何故この式が導かれるのですか？

回答No.2

debut

傾きがｍで、点(x1,y1)を通る直線の方程式は
　ｙ－y1＝ｍ(ｘ－x1)　　
と、数Iかなにかで出てきませんでしたか？
［ある点(x,y)と点(x1,y1)を結ぶ線分のの傾き(m)は(y-y1)/(x-x1)
　なので　ｍ＝(y-y1)/(x-x1)からｙ－y1＝ｍ(ｘ－x1)］

そして、微分のところで、曲線y=f(x)上の点(a,f(a))における
接線の傾きはf '(a)　と習いました。

結局、求める接線は、傾きがf '(a)で、点(a,f(a))を通る直線
となるので、上の公式に当てはめて
　　ｙ－f(a)＝f '(a)(ｘ－ａ)
　　∴ｙ＝f '(a)(ｘ－ａ)＋f(a)　　と表せます。

お礼

no.1さんno.2さんありがとうございました。
ご説明とてもわかりやすかったです。

回答No.1

noname#196225

i)接線は、まず接点(a,f(a))を通らなければなりません。
つまり、x=aのとき、y=f(a)を満たすような直線を考えます。
その直線は、y=k(x-a)+f(a)で導かれます。(ここでkはまだ決まっていません。)

ii)あとは直線の傾きkが決まれば接線が求まります。
ところで図を描くと分かりますが、接線の傾きは、
接点での曲線の傾きとなっています。
点xでの曲線の傾きはf'(x)（これが微分の定義です。）ですので、
ここにx=aを代入すると、点aでの曲線の傾きはf'(a)となります。
したがって、k=f'(a)となります。