うちょうてん

質問

「放物線　族」　の　FAQ に　ついて　教示願う　に　邂逅した;

すぐ　解けて　しまい　「有頂点族」の　軌跡まで　赤線で明記した;

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/150725917382365816178.gif

　　　赤線の　双対曲線　赤^★　を　求めると　青線の　●双曲線となる　と　少女　A.

　　Aが　云うことの　正しさを　是非　立証　し　その双曲線の　頂点　主軸　を　求め

　　　　更に　■双曲線上には　無限に　格子点が　存在すること■　を　示し

　　　ゴくみ　　明記　願います;

回答No.2

jcpmutura

mを実数とし,放物線y=x^2-mx+m-3/4をCとする。
また,Cの頂点の座標を(X,Y)とする。
(1)
y=(x-m/2)^2-m^2/4+m-3/4
X=m/2
Y=-m^2/4+m-3/4
(2)
0=(x-m/2)^2+(-m^2+4m-3)/4
(m^2-4m+3)/4=(x-m/2)^2≧0
(m-1)(m-3)≧0
m≦1.or.m≧3
1<m<3の時共有点の個数は0
m=1.or.m=3の時1
m<1.or.m>3の時2

(3)
Y=-m^2/4+m-3/4
Y=-(1/4)(m-2)^2+1/4≦1/4
Yの最大値は
1/4

(赤):y=-x^2/4+x-3/4
(赤)の接線を
y=ax+b
としてその接点(x,y)のyを(赤)に代入すると
ax+b=-x^2/4+x-3/4
x^2/4+(a-1)x+b+3/4=0
x^2+4(a-1)x+4b+3=0
{x+2(a-1)}^2=4(a-1)^2-4b-3
この接点のxの2次方程式は重根を持つから
4(a-1)^2-4b-3=0
4a^2-8a-4b+1=0
a=-x/y
b=-1/y
とすると
4(x/y)^2+8x/y+4/y+1=0
両辺にy^2をかけると
(赤^*)=(青):4x^2+8xy+4y+y^2=0
これは(赤)の双対曲線である
x=X+u
y=Y+v
とすると
4(X+u)^2+8(X+u)(Y+v)+4(Y+v)+(Y+v)^2=0
4X^2+8XY+Y^2+8(u+v)X+2(4u+v+2)Y+4u^2+8uv+4v+v^2=0
X,Yの1次の項を0とすると
u+v=0
4u+v+2=0
3u+2=0
u=-2/3
v=2/3
4u^2+8uv+4v+v^2
=4(-2/3)^2+8(-2/3)(2/3)+4(2/3)+(2/3)^2
=16/9-32/9+8/3+4/9
=(16-32+24+4)/9
=4/3

4X^2+8XY+Y^2+4/3=0
(青'):12X^2+24XY+3Y^2+4=0
(青'):12(X+Y)^2-9Y^2+4=0
12*(-9)<0だから
(青')は双曲線だから
(青)は双曲線である

行列
A=
(4,4)
(4,1)
の
固有値
(5+√73)/2
に対する固有ベクトルは
(3+√73;8)/√(146+6√73)
固有値
(5-√73)/2
に対する固有ベクトルは
(3-√73;8)/√(146-6√73)

L=
((3+√73)/√(146+6√73),(3+√73)/√(146-6√73))
(8/√(146+6√73),8/√(146-6√73))
とすると

L^{-1}AL=
((5+√73)/2,0)
(0,(5-√73)/2)
となる
この時のLを主軸変換という
Lの基底単位固有ベクトルを主軸という

(青')の頂点は
(X;Y)=±(3-√73;8)/√{6(-73+11√73)}
で
X=x+2/3
Y=y-2/3
だから
(青)の頂点は
(x;y)=(-2/3;2/3)±(3-√73;8)/√{6(-73+11√73)}

(青'):12X^2+24XY+3Y^2+4=0
X=x+2/3
Y=y-2/3
だから
12(x+2/3)^2+24(x+2/3)(y-2/3)+3(y-2/3)^2+4=0
4(3x+2)^2+8(3x+2)(3y-2)+(3y-2)^2=-12
4(3x+3y)^2-3(3y-2)^2=-12
36(x+y)^2-3(3y-2)^2=-12

(青):12(x+y)^2-(3y-2)^2=-4

ε=7+4√3
x(t)=(-2/3)-(ε^t+ε^{-t})/6
y(t)=(2/3)+[(2+√3)ε^t+(2-√3)ε^{-t}]/3
とすると

12{x(t)+y(t)}^2-{3y(t)-2}^2=-4
だから
(x(t);y(t))は双曲線(青)上の点である

x(t+1)=-x(t)-2y(t)
y(t+1)=8x(t)+15y(t)-4
x(t)=15x(t+1)+2y(t+1)+8
y(t)=-8x(t+1)-y(t+1)-4
が成り立つから
(x(t);y(t))が双曲線(青)上の格子点ならば
全ての整数nに対して
(x(t+n);y(t+n))が双曲線(青)上の格子点となる

(x(0);y(0))=(-1;2)だから
全ての整数nに対して
ε=7+4√3
[
x(n)=-(4+ε^n+ε^{-n})/6
y(n)=[2+(2+√3)ε^n+(2-√3)ε^{-n}]/3
]が双曲線(青)上の格子点となる

(x(-2);y(-2))=(-33;18)
(x(-1);y(-1))=(-3;2)
(x(0 );y(0 ))=(-1;2)
(x(1 );y(1 ))=(-3;18)
(x(2 );y(2 ))=(-33;242)

回答No.1

nanashisan_

(1)でき？
どこつま？