コーシー・リーマンの関係式の証明

質問

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)　において、(z=x+yi)
(df/dx)*(dx/dz)=(df/dy)*(dy/dz)　より、
コーシー・リーマンの関係式
du/dx=dv/dy,dv/dx=-du/dy　が成り立つ。

↑のような証明法ではまずいでしょうか？

回答No.2

stomachman

はて、f(z)=u(x,y)+iv(x,y)　というだけでコーシー・リーマンの関係式って成り立ちますか？たとえば、u(x,y)=x、v(x,y)=0でも成り立ちますか？

　先刻ご承知でしょうけれども、コーシー・リーマンの関係式というのは偏微分方程式です。そして、これを満たすものを解析関数と呼ぶ。
　確かに複素関数論では専ら解析関数ばかりを相手にします。ですが、どんなf(z)=u(x,y)+iv(x,y)でもコーシー・リーマンの関係式を満たすという訳じゃないです。
　だから、u(x,y)+iv(x,y)がどういう性質を持つ関数であるかを決めて、それを前提にしない限り、証明しろったって問題として成立しません。
　No.1ではi（∂f/∂x）＝（∂f/∂y）を前提になさっていますね。

お礼

すいません、前提を書くのを忘れてました…

「f(z)が全微分可能なとき」　です。

回答No.1

rangeru

(df/dx)*(dx/dz)=(df/dy)*(dy/dz)って成り立ちますか？
ｆはｚの関数ではなくuとｖの関数なので上式は普通の微分ではなく、偏微分になり、式自体が成り立たないと思うのですが。

　とりあえず簡単な証明
　ｘ方向（実軸）の変化とｙ方向（虚軸）の変化は直交し、複素平面では虚数iを用い、
　i（∂f/∂x）＝（∂f/∂y）
と表現できます。ここで、f＝u＋ivを代入すると、
　i（∂u/∂x）－（∂v/∂x）＝（∂u/∂y）＋i（∂v/∂y）
となり、実部と虚部の関係でコーシー・リーマンの関係式が証明できた。

　となります。詳しくはヴィジュアル複素解析などを参照してください。

お礼

ありがとうございます。やっぱり
(df/dx)*(dx/dz)=(df/dy)*(dy/dz)
はあやしいですね。
教科書を見ても、微分したやつをｘ軸方向、ｙ軸方向の両方から近づけるってやつしかないようです。
教えてくださったやつは少し簡単そうですね。