逆関数の微分と全微分の違い

質問

「y=1+x*c^yで定まる陰関数yについてdy/dxを求めよ」という問題の
解き方で、逆関数の微分と全微分のどちらで解けばよいのか分かりません。

私は、f(x,y)=1+x*c^y-y=0とおき、dy/dx=df(x,y)/dx*1/{df(x,y)/dy}で解き
dy/dx=c^y/{x*c^y-1}となったのですが、
全微分の解き方をすると、c^y*dx+{x*c^y-1}*dy=0より
dy/dx=-c^y/{x*c^y-1}となり、私が出した答えと符合が逆になってしまいます。

この場合どちらの解き方で解けばよいのでしょうか？
見づらいとは思いますが、どうかよろしくお願いいたします。

回答No.2

Tacosan

計算と考え方を間違えない限り, どちらでやっても同じ答えにならないとおかしい.

ところで, 今の場合 x を y の関数として陽に書けるよね. そこから dx/dy を経由して dy/dx を求めたらいくつになる?

回答No.1

dragonkazooie

kasutanetto4069さん，こんばんは．

端的に間違いを述べると，dy/dx=df(x,y)/dx×1/{df(x,y)/dy}という数式は成り立ちません．

陰関数は一般に
　f(x,y(x))=0　…(1)
の形で表されます．ここでxとyは独立ではなく，一方が変化すれば自動的に他方も変化します．しかし，このf(x,y)は=0を除けば，二変数関数であると考えることもできます．

前置きはこれくらいにして，f(x,y(x))を定義に従ってxで微分してみましょう．
　df(x,y(x))/dx=lim[h→0]{f(x+h,y(x+h))-f(x,y(x))}/h　…(2)
ですね．ここで
　y(x+h)≒y(x)+(dy/dx)h　…(3)
と近似できます．これを(2)式に代入すると
　df(x,y(x))/dx=lim[h→0]{f(x+h,y(x)+(dy/dx)h)-f(x,y(x))}/h　…(4)
となります．さて，以降ではこれを変形していきましょう．

f(x+h,y(x)+(dy/dx)h)について，第一引数を固定して第二引数の変化だけに着目して近似してみましょう．この操作をするにあたっては，xとyは独立と考えます．
　f(x+h,y+(dy/dx)h)≒f(x+h,y)+(∂f/∂y)(dy/dx)h　…(5)
と近似できます．ここで∂f/∂yは偏微分といい，二変数関数とみなしたf(x,y)において，xは固定してyだけを変化させた時の微分係数を表します．

同様に
　f(x+h,y)≒f(x,y)+(∂f/∂x)h　…(6)
と近似できるのも良いでしょうか．(5),(6)式を(4)式に代入すれば
　df(x,y(x))/dx
　=lim[h→0]{f(x,y)+(∂f/∂x)h+(∂f/∂y)(dy/dx)h-f(x,y(x))}/h
　=(∂f/∂x)+(∂f/∂y)(dy/dx)　…(7)
という重要な結果を得ます．今は，x,y自体は動くことができますが，あくまでf(x,y(x))=0を満たすように動くだけであり，f(x,y)の値はxによらず0です．つまり
　df(x,y(x))/dx=0　…(8)
ということです．これを(7)式に代入すれば
　(∂f/∂x)+(∂f/∂y)(dy/dx)=0　…(9)
ですが，これを変形することにより
　dy/dx=-(∂f/∂x)×1/(∂f/∂y)　…(10)
となることがわかりますね．右辺にマイナスが付いているのがポイントです．

今回の問題でいえば
　f(x,y)=1+xe^y-y
と置き，これをyを定数とみなしてxで微分したもの(∂f/∂x)に，xを定数とみなしてyで微分したもの(∂f/∂y)の逆数を掛け，それの符号を変えたものがdy/dxであるということです．

ですので，質問者さんがやった方法では符号が子となってしまいます．正解はdy/dx=-c^y/{x*c^y-1}のこちらとなります．

分からない点があれば補足に書いてくださいね．