ラグランジュの未定常数法の証明で、なぜλが自由に動けるかが示せなくて困

質問

ラグランジュの未定常数法の証明で、なぜλが自由に動けるかが示せなくて困っています。

問題の関数f(x,y), 拘束条件g(x,y)=0とすると
df=∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy
dg=∂g/∂x dx + ∂g/∂y dy

で、ここからdyを消去すると
df=[∂f/∂x - (∂f/∂y)/(∂g/∂y) ∂g/∂x]dx
となり、ここで(∂f/∂y)/(∂g/∂y)は自由に動けるのでこれをλとすると
df=[∂f/∂x - λ ∂g/∂x]dx
となって、結局∂f/∂x - λ ∂g/∂x=0 （と∂f/∂y - λ ∂g/∂y）を解けばいい、という風に証明すると思うのですが、

ここで、なぜλは新たな変数として自由に動けるとしていいのでしょうか？
また、これだと(∂f/∂x)/(∂g/∂x) = (∂f/∂y)/(∂g/∂y) 　（= λ）となってこれらは等しくなるのですが、これはなぜでしょうか？
どなたかご教授お願いします。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

ラグランジュの未定乗数法は、

＞で、ここからdyを消去すると

をやらずに解く方法です。

変数がx、yの二つならこれでどうとでもなりますが、これが三つ四つと増えていくと拘束条件から独立変数を減らしていく方法はとてつもなく複雑になります。そこで出てくるのが未定乗数法です。

f(x、y)が極値となる条件を求めるには

df=∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy=0

を解きますが、拘束条件g(x,y)=0がある場合にはdg=0なので新たに関数

F＝f(x,y)＋λg(x,y)

を定義して

dF＝df(x,y)＋λdg(x,y)
　＝(∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy)+λ(∂g/∂x dx + ∂g/∂y dy)
　＝(∂f/∂x + λ∂g/∂x)dx+(∂f/∂y + λ∂g/∂y)dy＝0

を解いても同じことです。xとyが独立変数ならdx、dyを自由に変えられますからそれぞれの係数を0とおいて解けばいいのですが、ここでは拘束条件があるのでdxとdyは自由に変えられません。そこで、まず、自由に動かすことができる変数をxとし、yを従属変数とします。

yが従属変数でありdyを自由に動かせない第二項は、λを

∂f/∂y + λ∂g/∂y　=　0

を満足するようにとることにします。

すると、第二項が0になるので、任意のdxについて第一項が0になるために

∂f/∂x + λ∂g/∂x=0

が出てきます。

結果として、

∂f/∂x + λ∂g/∂x=0
∂f/∂y + λ∂g/∂y=0

の両方が成り立てばいいので、どちらが独立変数でどちらが従属変数であるかは忘れてしまって、

あたかもdx, dyともに独立変数とみなして

dF＝(∂f/∂x + λ∂g/∂x)dx+(∂f/∂y + λ∂g/∂y)dy＝0

からdx、dyの係数がともに0、つまり、

∂f/∂x + λ∂g/∂x＝０
∂f/∂y + λ∂g/∂y＝０

を解き、つじつまが合うようにλを決めればいい、

というのが未定乗数法のやり方になります。

以前の私の回答に例があげてありますので参照してください。
http://okwave.jp/qa/q2326326.html

お礼

ありがとうございます！なるほど、dg=0なのでλは自由に取って良いために、λにも自由な拘束条件をつけて解けるという事なのですね。
僕の読んだ説明では質問文の通り偏微分の組み合わせをλと定義していたので、なぜ自由に動かしてよいのかよくわかりませんでした。
判りやすい説明ありがとうございました。