全微分の独立変数について

質問

z=f(x,y)のとき df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy
∂f/∂xはyが固定 ∂f/∂yはxが固定だと思うのですが、全てzで固定して考えると
∂f/∂xはzが固定 ∂f/∂yはzが固定なので
0= (∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy という操作をしても問題ないのですか？
yならdf= (∂f/∂x)dx

回答No.1

soyandbeefmilk · ベストアンサー

仰ることがよく解らないんですが、提示された全微分と偏微分の関係式が成立することを前提に回答すれば、
定義からfはzです、zのx,yによる全微分の関係式は提示されている関係式が成立することを前提にして、便宜上、両辺に1/dxdyを掛けると、
dz/dxdy=d(∂z/∂x)/dy+d(∂z/∂y)/dx
となり、二独立変数関数zのx,yでの全微分は、
xで偏微分したyを含む関数をさらにそこに含まれるxを定数と見てyで偏微分したものと、同様にzをyで偏微分した関数をさらにyは定数でxで偏微分したものの和となるとなっていますけど、全微分が微分の順序を逆に行った二回偏微分の双方の和であるというのはありえないと思います。だから最初の式は不成立で、全微分dz/dxdyは定義通り、dz/dxdy=∂(∂z/∂x)/∂yまたは∂(∂z/∂y)/∂x
ではないかと思います。例を出して二回偏微分してみればどうかなと思ってしまいます。大学の解析学の教科書に説明ありませんか？
最後の件の、yが定数では、df/dx=∂f/∂x　は、一見正しく見えますが、そもそもyが定数では偏微分が定義されず、数式の記号が意味を成さず数式が破綻します。

回答No.3

soyandbeefmilk

一番からもう一つ訂正。
従って全微分の記号表記も、「全微分d^2z/dxdy…」ということです。慣れておけば、独立変数の数に応じて全微分の分子のdの肩の数を対応させるだけで間違うこともありません。

補足

面積要素ベクトルをdydzで表すと
dS↑=(∂r↑/∂y×∂r↑/∂z)dydz r↑=(x,y,f(x,y))
z = f(x,y)とおくと dz = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
面積要素ベクトルの∂r↑/∂yはzを固定してるので
全微分の式よりdz=0
0=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy⇔ ∂x/∂y = -(∂f/∂y)/(∂f/∂x)
面積要素ベクトルの∂r↑/∂zはyを固定してるので
全微分の式よりdy=0
dz= (∂f/∂x)dx⇔ ∂x/∂z = 1/(∂f/∂x)
この計算がよく分かりません、良ければ回答よろしくお願いします．

回答No.2

soyandbeefmilk

一番から訂正。
便宜上で両辺に掛けるのは、d/dxdy　で結果が　d^2z/dxdy=d(∂z/∂x)/dy+d(∂z/∂y)/dx　となり左辺の式表記もちゃんと２階微分の表記になり整合します。