微分方程式の問題

質問

変分法の問題で、ベルトラミの公式を導く過程でdf=(dy/dx)・d(∂f/∂y')という式からf-y'・(∂f/∂y)=const.という式が導かれていますが、この式変形がお分かりの方、証明を教えて下さい。yはxの関数であり、fはyとy'の関数です。dy/dxが定数であれば理解できるのですが。よろしくお願いします。

回答No.1

kumipapa

df=(dy/dx)・d(∂f/∂y') が違っているのでは？１項抜けている気がしますが・・・。

ベルトラミの公式の導出って、確かｆ＝ｆ（ｙ，ｙ’）のときに
df = (∂f/∂y)dy+(∂f/∂y')dy' を (∂f/∂y)y' = df/dx - (∂f/∂y')(∂y'/∂x) と変形して、あと、オイラー方程式∂f/∂y＝d(∂f/∂y')/dx (うーん書きづらい）の両辺にy'かけたものと連立させて、うんぬんうんぬん・・・て感じではなかったでしたっけ？

他の書籍をあたってみること、お勧めしたい。
私の記憶違いだったらごめんなさい。

お礼

解決方法が分かりました。df/dx=(d/dx)((dy/dx)(∂f/∂y'))=(d/dx)(dy/dx)・(∂f/∂y')+(dy/dx)・(d/dx)(∂f/∂y')=(d/dx)y'・(∂f/∂y')+(dy/dx)・(d/dx)(∂f/∂y')=(dy'/dx)・(∂f/∂y')+(dy/dx)・(d/dx)(∂f/∂y')=(∂y'/∂x)・(∂f/∂y')+(dy/dx)・(d/dx)(∂f/∂y')=(∂f/∂x)+(dy/dx)・(d/dx)(∂f/∂y')と変形でき、ベルトラミの公式が導かれるこの変分問題ではf=f(y,y')であって、fはxの関数ではないので、最後の式の第一項が0となり、結局df/dx=(dy/dx)・(d/dx)(∂f/∂y')と同じになることが分かりました。つまり、この問題で限定的にdy/dxを演算子d/dxの右側に含められのでしょう。後は両辺を積分すればベルトラミの公式が得られるので問題有りません。ご返事有難うございました。

補足

確かにご指摘のとおり、fの全微分式を変形したものと、オイラー方程式の両辺にy'を掛けたものの連立方程式の問題です。これらを連立して(∂f/∂y)y'を消去すると、私が質問の欄に書いた1本の式になると思います。ここまでの変形は間違っていないと思っていますので、質問を書き易くするためにこのように簡略しました。もっと前の段階で書くとdf/dx=(dy/dx)(d/dx)(∂f/∂y')となりますが、この式の右辺のdy/dxをd/dxの中にもし入れられるとすると、つまりdf/dx=(d/dx)(dy/dx)(∂f/∂y')と変形できたとするとベルトラミの公式が導けると思いますが、yがxの関数である場合、この変形が出来るのかどうかが悩んでいるところです。もしかしたら、私の解釈が間違っているかもしれません。いずれにしても丁寧なお返事有難うございました。