ODE > 全微分

質問

全微分とは何かについて質問したいと思います。

読んでいたweb上の資料では以下の記載がありました。
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P(x,y)dx + Q(x,y)dy
の微分形式が2変数f(x,y)の全微分になっているとき、すなわち
df = ∂f(x,y)/∂x(x,y) dx + ∂f(x,y)/∂y dy
= P(x,y)dx + Q(x,y)dy
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質問ですが、「全微分でない」というのは、ようするにf()という関数が別の変数(例えばz)に従属していて、fの微分をとった時にzの偏微分も入れないといけない、というようなことでしょうか?

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

別の変数 z は関係ありません．

質問に書かれているように，関数 f(x,y) があって，
x → x+dx，y → y+dy と変化したときに f の変化 df は
(1)　df = {∂f(x,y)/∂x} dx + {∂f(x,y)/∂y} dy
です(書き損ないを修正して，見やすくしました)．
もちろん {∂f(x,y)/∂x} も {∂f(x,y)/∂y} も x,y の関数です．

では，逆に勝手な P(x,y) と Q(x,y) を持ってきて
(2)　P(x,y) dx + Q(x,y) dy
を作ったときに，これはある関数 f(x,y) の x → x+dx，y → y+dy
に対する変化とみなせるかどうか？
見なせるとき，(2)は「全微分になっている」といいます．
見なせないときには「全微分ではない」といいます．

一般に２変数関数の偏微分に対して
(3)　(∂/∂y) {∂f(x,y)/∂x} = (∂/∂x) {∂f(x,y)/∂y}
が成り立ちます(本当は連続性が必要ですが，そこは触れない)．
つまり，偏微分は順序を交換しても同じ結果になる．
したがって，(1)(2)を比べてみると，(2)が全微分であるためには
(4)　∂P(x,y)/∂y = ∂Q(x,y)/∂x
になっていないといけません．
つまり，勝手な P(x,y) と Q(x,y) を持ってきて(2)を作っても
全微分になっているとは限らないわけです
(たいていダメでしょう)．

この話は，複素関数論で正則関数に対するコーシー・リーマンの関係式，
あるいは力学で力がポテンシャルを持つ条件，
と深い関係があります(というか，ほとんど同じこと)．

お礼

詳細な回答ありがとうございます。

(4)式が必要である理由というのがよくわかりました。
また、これはコーシー・リーマンの関係式と同じである、というのはなかなか気づいていませんでした。

色々勉強になりました。
ありがとうございます。