公務員試験について

質問

πa²-3√3/2a²=2π-3√3/2a²の途中式を教えてください。

問題
一辺の長さ a の正六角形と、これに外接する円で囲まれた斜線部の面積として正しいもの。
1,(π-√3)a2乗
2,(π-2√2)a2乗
3,π-√3/2 a2乗
4,2π-3√2/2 a2乗
5,2π-3√3/2 a2乗

解説
円の半径はa,円の面積はπa2乗
一辺の長さが a の正六角形の面積は一辺の長さが a の正三角形の6個分である。
1/2XaX√ 3/2aX6=3√3/2a2乗
よって斜線部の面積は
πa2乗-a2乗=2π-3√3/2a2乗

回答No.2

paranoia23

「(1)外接する円の面積」から、
「(2)一辺の長さ a の正六角形」を引く方向で考えてみました。

(1)：円の面積は、半径×半径×円周率

　　ａの二乗×π

　　となるかと思います。

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(2)：一辺の長さ a の正六角形

　「各角度が６０度の正三角形が６つある」と捉えたら、

　それをさらに、
　「その正三角形の半分は、直角三角形である」として捉えなおします。
　（三角形の面積： 縦×横÷２ で計算して、１２個分掛け算します）

　直角三角形は、各辺の比率が、１ 対 ２ 対 ルート３ で、

　斜辺：a　（斜辺＝正六角形の一辺の長さなので）

　の部分が「ルート３」の比率？の部分に該当するので、

　短辺：(１／２)×ａ
　長辺：ルート３×(１／２)×ａ

　　⇒　((１／２)×ａ)　×　ルート３×((１／２)×ａの二乗)　÷　２
　　　　↑短辺部　　　　　　↑長辺部　　　　　　　　　↑縦×横÷２の「÷２」

　正六角形は「直角三角形」が１２個分として捉えられるので、
　式を整理すると、3√3/2×ａの二乗

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◆結論

「(1)外接する円の面積」から、
「(2)一辺の長さ a の正六角形」を引くと、

　πa2乗-a2乗　⇒　2π - 3√3/2×aの2乗

　となります。
.

回答No.1

noname#227255

まず、a2乗をa^2と表します。
円の面積はπa^2
一辺の長さが a の正三角形の面積は、a×a×sin60°/2=(√3)a^2/4
この6個分の面積は、(√3)a^2/4×6=(3√3)a^2/2
よって、求める面積は、πa^2--(3√3)a^2/2=(2π-3√3)a^2/2{=(2π-3√3)/2×a^2}