図形の問題の解き方がわかりません

質問

１辺の長さaの正五角形ABCDEについて次の問いに答えよ
(1)BEの長さを求めよ
(2)外接円の半径を求めよ
(3)正五角形ABCDEの面積を求めよ
(1)は図を描いて求めようとしましたが∠BAE＝108°となるので混乱してしまいました
(2)以降は(1)ができなかったので考えてみましたがまったくわかりませんでした

回答No.4

debut · ベストアンサー

(1)
ＢＥとＡＣの交点をＰとすると、△ＡＢＥ∽△ＰＡＢです。
△ＡＰＥはＡＥ＝ＰＥの二等辺三角形なのでＢＰ＝ｘとすれば
ＢＥ＝ａ＋ｘです。
△ＡＢＥ∽△ＰＡＢから、ＡＢ：ＢＥ＝ＢＰ：ＡＢなので
ａ：(ｘ＋ａ)＝ｘ：ａで、ｘの２次方程式からｘが求められます。
(2)
外接円の中心をＯとして、ＡＯとＢＥの交点をＱ、ＯからＡＢに
引いた垂線をＯＲとすれば、△ＡＢＱ∽△ＯＡＲです。
よって、ＡＢ：ＡＱ＝ＡＯ：ＡＲ。
ここで、ＡＱ＝√{AB^2-(BE/2)^2}＝{√(10-2√5)}a/4だから
ａ：{√(10-2√5)}a/4＝ＡＯ：a/2
左を少し簡単にしておけば　４：√(10-2√5)＝ＡＯ：a/2．
(3)
(2)のＡＯから、△ＡＢＯの高さが√{AO^2-(a/2)^2}より
求められ、△ＡＢＯの面積の５倍で求められます。

なお、sin36°でいいなら(2)はa/(2sin36°),
(3)なら5a^2/(4tan36°)ですが・・
※sin36°＝{√(10-2√5)}/4、tan36°＝{√(10-2√5)}/{√(6+2√5)}

お礼

ありがとうございます
まだ計算ができてませんが考え方はわかりました
またよろしくお願いします

回答No.3

ant-28

(１)
一辺の長さがaの正五角形であるならば、余弦定理を使えば解けると思います。

(２)
外接円の中心を点Oとしたとき、∠OAB=∠OBA=∠BAE/2=54゜であるから、そこからうまく正弦定理のイコール関係を利用すれば解けるかと思います。

(３)
三角形OABの面積の5倍ですから…

具体的に計算をしたわけではないので、参考意見です。

お礼

ありがとうございます
参考になりました
またよろしくおねがいします

回答No.2

noname#75273

(1) BE と AC の交点、BE と AD の交点をそれぞれ、P , Q とする。
　　⇒ EQ = y とく
　　⇒ 2 つの式を立式
　　⇒ 2 式から y を消去
　　⇒ x を求めると、x = √5 a / 2 + a / 2 となりましたが・・・

補足

2つの式のうち１つはy=3xというのが出ましたが
もう1つはどのような式がたちますか

回答No.1

33550336

丸投げ禁止です。
考えた内容を補足欄にお願いします。

補足

(1)は図を描き求める長さBEをBE=2xとおき
BEの中点をMとして三角形ABMで正弦定理を用いて
a/sin90°=x/sin54°としました