内接円の面積 等比級数

質問

内接円の面積 等比級数

閲覧ありがとうございます。

手詰まりしてしまったので質問させていただきます。

一辺の長さが1の正三角形ABCの内接円をO1とし、O1に外接し、辺AB、ACに接する円をO2、O2に外接し、辺AB、ACに接する円をO3とする。
以下同様にして、円O1、O2、O3、…、On、…を作る時、円の面積の総和を求めよ。

（画像があります）

ヘロンの公式を使い、O1の半径（√3/6）、O1の面積（π/12）
までわかりましだが、
O2以下をどうすればよいのか、
どのような等比級数となるのがわかりません。

解説よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

いくつか考えられるけど, O1 と O2 の共通接線を引いてみるといいかも.

回答No.2

graycat000

まず、O2が外接する三角形を考えます。
O1に外接する正三角形の高さが (√3)/2 なので、O2の外接三角形の高さは
(√3)/2 - 2 * (√3)/6 = (3(√3))/6 - (2(√3))/6 = (√3)/6

O1とO2の外接三角形は明らかに相似形で、O2の外接三角形の一辺は (√3)/2:(√3)/6 = 1:x より、x=1/3 です。
つまり、O2の半径は (√3)/6 * 1/3 = (√3)/(6*3) です。面積は π*((√3)/(6*3))^2 です。
1/9
同様に、O3の半径は (√3)/6 * 1/9 = (√3)/(6*9) です。面積は π*((√3)/(6*9))^2 です。
同様に、O4の半径は (√3)/6 * 1/(3^3) = (√3)/(6*(3^3)) です。面積は π*((√3)/(6*(3^3)))^2 です。

面積だけ並べると、
O1 ->π*((√3)/(6))^2
O2 ->π*((√3)/(6*3))^2
O3 ->π*((√3)/(6*3^2))^2
O4 ->π*((√3)/(6*3^3))^2

これらから、帰納的に次に数列が予想されますので、これをnについて足しこめば級数でしょう。

On ->π*((√3)/(6*3^(n-1)))^2

On < 1 ですので、級数は収束します。しかし級数の計算は、ちょっと悩みそうです。

こんな感じでどうでしょうか？