円に外接する三角形

質問

次の問題がどうしても途中までしか解けなかったので、教えてください。
半径ｒの円に外接する三角形のうち、最小の面積をもつ条件は正三角形だと思うのですが、どうやって導けば良いのか分かりません。微分を使えば良いんですよねえ・・・？

回答No.7

noname#24477 · ベストアンサー

＃２です。先ほどはどうも。読み直すとまた＃３で内接、
外接間違えて書いてるし・・・

いい回答が出てきたみたいですが、やってみたので一応

半径１にして考えても形は同じですから
座標と方程式で考えていくと

円　x^2+y^2=1
1つの辺を　ｙ＝－１
頂点の1つをＡ(a,b)とします。
とりあえずｂはｂ＞１で固定（定数扱い）
するとa=0のとき最小と出ました。つまり2等辺三角形です。
この計算も書くのは大変なので省略。必要があれば書きます。

Ａ（０，ｂ）として考えればよい。
高さは　ｂ＋１
接線の式は　y=mx+b
ｙ＝－１との交点は　ｘ＝(-1-b)/m

そうすると面積Ｓは
Ｓ＝（ｂ＋１）＊（－１－ｂ）/m＝－（b+1)^2/m　ただしｍ＜０

原点から接線までの距離が　b/√(m^2+1)＝１
より　b^2=m^2+1
ｍ＜０のときｍ＝－√（ｂ＾２－１）
よって
Ｓ＝(b+1)^2/√(b^2-1)　　ただしｂ＞１

これでｂだけの式にできたので微分して最小になるときを
調べればよい。結果ｂ＝２で正三角形。

お礼

お礼がおそくなってしまいすみません。度々の回答ありがとうございました。こんなに計算過程がありましたとは・・・。でも、分かりやすく教えてくださったので、自分でも何とか解けそうです。
本当にありがとうございましたm(_ _)m

回答No.6

keyguy

円の半径をｒとし
円の中心をｏとし
３つの接点をａ，ｂ，ｃとし
∠ａｏｂ＝２αとし
∠ｂｏｃ＝２βとし
∠ｃｏａ＝２γとし
三角形の面積をｓとすると
π＝α＋β＋γ
三角形の面積は
ｓ＝r^2（tan(α)+tan(β)+tan(γ))
です。
後は簡単ですね。

お礼

このような解き方もあるのですね！
早速やってみます。
回答ありがとうございました。

回答No.5

liar_adan

字で伝わるか不安ですが、やってみます。

円外のある点Pを通り、円に接する2本の直線l,mを引くとする。
このとき、l,mと、もう一つの直線で、円に外接する三角形を作るとき、
面積が最小になるものは、l辺とm辺が二等辺三角形になるものである。

証明：
Pと、円の中心を通る線を引く。これはl,mでできる角を
二等分する。この線をnとする。
直線nと円の交点で、Pから遠い方をAとする。
Aを通り、nに垂直な線をrとする。
直線l,m,rで二等辺三角形ができる。

ここで、Aを通り、rと角度がある直線sを考えてみる。
直線l,m,sが作る三角形の面積は、l,m,rで作る三角形の面積よりも大きい。
なぜならば、rとsを重ねて書いてみると、
三角形の面積の減少分より増加分が多いからである。
(ここは図を書いてください)

そして、円に接する直線tを書いてみると、
点Aを通るもの以外はrに対して角度がある。
直線l,m,tが作る三角形の面積は、
tに平行でAを通る直線t'とl,mが作る三角形の面積より大きい。
よって、l,mを2辺として作る三角形のうち、
面積最小なものは直線rをもう一辺とするものである。

さて、円に外接する不等辺三角形があった場合、
その一辺を取り直して二等辺三角形にすることによって
さらに面積の小さい三角形を出すことができる。

これに対し、正三角形では、その作業ができない。

正三角形以外はさらに面積の小さい三角形を導く方法があるのに対し、
正三角形はその方法がないので、
正三角形が、円に外接する面積最小の図形である。
(↑このへんが説明としてあやしいんだけど…)

微分を使った方が説得力があるかもしれませんね。(^^;;;

お礼

これは実際に図を描かないと分からないですね(^_^;)
今から解いてみます。回答ありがとうございました。

回答No.4

kouji0524

私もそうでした。内接円だと思い、やってました(^^ゞ

a、ｂ、ｃを与えて面積を求め、それから相加相乗平均により、三辺が一緒のとき、統合成立がa=b=cになるた
め、正三角形となるのでは？

図がなければ少し説明しにくいです。
他にもやりかたがあるかも。もちろん微分でも解ける
と思いますが。

お礼

相加相乗平均・・・なんだか非常になつかしい言葉を聞いた気が(汗)
そっから復習始めます(^_^;)
度々の回答ありがとうございました。

回答No.3

noname#24477

＃２です失礼しました。
内接円の話をしてしまいました。
また後で書き直します。

回答No.2

noname#24477

最大でしょうね。最小ではいくらでも０に近くできますから。

２点を決めればもう１つは２等辺になるように取るときが
最大なのはすぐわかるから、これを最初に断れば

原点中心の円でｙ軸との交点にとり
あと２点を水平に取るとかすれば変数２つで
すぐ１変数に直せそう。

頂点と中心を結んで中心角を考えれば三角関数でもできそう。

回答No.1

kouji0524

最小ですか？
最大ではなくて？