三角比の問題。途中式を教えてください

質問

三角比の問題。解答に途中式が載ってなく解き方がわかりません。途中式を教えてください。

△ABCにおいてsin∠A／√５＝∠sinB／√２＝sinCのとき
（１）３辺の長さの比AB：BC：CAと最大角の大きさを求めなさい。 答えAB：BC：CA＝１：√５：√２、 ∠A＝１３５°
（２）△ABCの外接円の半径が２の時、△ABCの面積を求めなさい。 答え４／５

よろしくお願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

(1)条件より

sinA:sinB:sinC=√5:√2:1

正弦定理より

a:b:c=sinA:sinB:sinC=√5:√2:1

すなわち

AB：BC：CA=c:a:b=1：√5：√2（答）

相似な三角形は角度が変わらないので(a,b,c)=(√5,√2,1)としてよい．余弦定理より，

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(2+1-5)/(2√2・1)=-1/√2∴A=135°（答）

(2)正弦定理より

a=2RsinA=2sin135°=√2

a:b:c=√5:√2:1=√2:(2/√5):(√2/√5)

よりb=2/√5,c=√2/√5であるから

△ABC=(1/2)bcsinA=(1/2)(2/√5)(√2/√5)sin135°=4/5（答）

回答No.2

info22_

(1)
３辺の長さをAB=c, BC=a, CA=b とおくと
正弦定理より
　a/sin∠A＝b/sin∠B＝c/sin∠C
　sin∠A／a＝sin∠B／b＝sin∠C/c
条件式から
　a:b:c＝BC:CA:AB＝√5:√2:1 ...(※)
　∴AB：BC：CA＝1：√5：√2

(※)よりa＝√5c,b＝√2c　(c＞0) ...(★)であるから
最大辺はBC(=a)なので、最大角は∠Aであるから
　cos∠A＝(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
　　　　＝(2c^2+c^2-5c^2)/(2√2c^2)
　　　　＝-1/√2
cos∠A＜0なので 90°＜∠A＜180°（第二象限の角）であるから
　∠A＝180°-45°=135°
(単位円を描いて求めるとわかり易いでしょう)

(2)
△ABCの外接円の半径R＝2であるから正弦定理より
　a/sin∠A＝2R=4
(1)より∠A＝135°=180°-45°であるから sin∠A=1/√2 ...(▲)
従って
　a√2＝4 ∴a＝2√2　...(◆)
また(★)と(◆)から
　c＝a/√5＝2√(2/5), b=√2c=4/√5
(▲)より
　△ABCの面積＝(1/2)bc sin∠A
　　＝(1/2)(4/√5)(2√(2/5))(1/√2)＝4/5