境界点について

質問

Ｓ＝{ｘ：ｘは有理数で、0＜ｘ＜1}とするとき、Ｓの境界点の集合と集積点の集合を求めよという問題で、答えは、Ｓの境界点からなる集合＝{ｘ：0≦ｘ≦１}、Ｓの集積点からなる集合＝Ｓとなる理由がわかりません。
僕は、Ｓの境界点からなる集合は{0、１}と思い、例えば、ｘ＝１/２のときはＳの内点になってしまい、{ｘ：0≦ｘ≦１}ではだめな気がします。
また、Ｓの集積点からなる集合＝{ｘ：0≦ｘ≦１}でもいいきがします。

よろしくおねがいします。

回答No.2

graphaffine

この質問の仕方だと、定義をきちんと押さえてないようですね。境界点と集積点の定義が分かればすぐ
答が出ます。

蛇足ですが、全体集合は実数全体の集合Rに通常の位相を
入れたものを考えているわけですよね。

その事もきちんと言わないと、質問としては不完全です。

回答No.1

ranx

xが無理数となる点をSが含まないというのがミソですね。
Sのどの点でも、どれだけ小さな近傍にも、Sに含まれない点が含まれます。

補足

そうすると納得はいくんですが、0と1はなぜイコールなんですか？それをイコールとすると、２とかでもいいんではないんですか？
また、Ｓの集積点の方はなぜ等号が入らないのですか？