集積点について教えて下さい。

質問

集積点であるとは、aのどんな近くにも集合Aの或る点が無数に存在することである。
ということですが、
例えば、実数はだと全て数において、集積点に属し、
整数は全て孤立点に属すると思うのですが、合っていますでしょうか？

このように全ての点が集積点或いは孤立点であるという例は思いつくのですが、
いくつかの点が集積点でいくつかの点が孤立点という例が思いつきません。
どなたか教えて頂けないでしょうか？

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

＞集積点であるとは、aのどんな近くにも集合Aの或る点が無数に存在することである・・・
という質問者様の定義、#1さん例からもわかるように、集積点，孤立点は、最初に「集合A」を決めておかないと、何も言えません。「集合A」の集積点，孤立点ですから。
　集合Aとして、ドーナツ領域の内部と境界および中心点の合併をとれば、ドーナツの縁の点はAの集積点，中心点はAの孤立点です。なので、

・実数全体Ｒに対して、その任意点はＲの集積点（そもそもＲの閉包はＲで、有理数全体がすでにＲで密なので）．
・整数全体をＲの部分集合Ｎと考えた場合、Ｎの任意点はＮの孤立点（Ｒの位相は、Ｎより細かいから）．
・上記二つで、Ｒの位相はユークリッド距離によるものとする．

という意味でならそうです。

回答No.2

arrysthmia

何より、日本語の文法が合ってないんですが。

集積点かどうかは、その集合に入れる位相
に依って異なりますが、
実数からの相対位相で考えているなら、
それでいいでしょう。

回答No.1

arrysthmia

単位分数に 0 を加えた { 1/n | nは自然数 } ∪ { 0 } では、
0 が唯一の集積点で、その他は孤立点。

お礼

ありがとうございます。

実数はだと全て数において、集積点に属し、
整数は全て孤立点に属すると思うのですが、

という部分は合っているのでしょうか？

よろしくお願いいたします。