ガウス・・・・

質問

関数ｆ(ｘ)=－4[ｘ]＋2[2ｘ]－1(ｘ≧0)
ｘ=[ｘ]＋a(0≦a＜1)とおくとき、ｆ(ｘ)=ｆ(a)を示せ
という問題なんですが、まず解説では、
0≦2a＜1と1≦2a＜2と場合わけをしていました、
しかし、解説にはなぜこういう風に場合分けをするのか詳しく書いていませんでした、そこで、皆さんに聞きます、なぜこういう風に場合わけをするのか、また
その後のｆ(ｘ)=ｆ(a)へのもってき方もよくわからないので、あわせて解説お願いします。。よろしくお願いします。。

回答No.3

hinebot · ベストアンサー

問題の意味をもう一度考えてみましょう。

＞ｘ=[ｘ]＋a(0≦a＜1)とおくとき

これが何を意味しているか。
[x]はxを超えない最大の整数のことですから、要はxの小数部をaとする、と言っているわけです。

では関数　f(x)について考えます。
最初の項の[x]はxの整数部そのものですから、x=[x]+a と置いても[x]のまま変わりません。
次の項[2x]が、ポイントになります。
これに x=[x]+a を代入すると
[2x]=[2([x]+a)]=[2[x]+2a]
となります。この外側のガウス記号を外すことを考えます。
2a＜1ならば 2[x]+2a を超えない最大の整数は
2[x]です。
一方、2a≧1ならば、2[x]+2a を超えない最大の整数は
2[x]+1 になります。
なので、0≦2a＜1と1≦2a＜2と場合わけする訳です。
（場合分けの範囲のもう一方の境界は 0≦a＜1という条件から来ています。）

回答No.2

tarame

ANO.#1のtarameです。
投稿してから、気がつきました。
＞[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]＋[2a]となり、
＞f(x)＝－4[x]＋4[x]+2[2a]－1＝2[2a]－1 となります
に気がつけば、

0≦a＜1 より [a]＝0 だから、
f(a)＝-4[a]+2[2a]－1＝2[2a]－1 となり
場合分けしなくても
f(x)＝f(a)となりますね！！！

回答No.1

tarame

＞0≦2a＜1と1≦2a＜2と場合わけをしていました、
＞しかし、解説にはなぜこういう風に場合分けをするのか

関数f(x)の [2x]の部分に注目しましょう。
ｘ＝[x]+aであることから
[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]＋[2a]となり、
f(x)＝－4[x]＋4[x]+2[2a]－1＝2[2a]－1 となります。
したがって
0≦2a＜1のとき [2a]＝0（0≦a＜1/2)
1≦2a＜2のとき [2a]＝1（1/2≦a＜1)と場合分けするわけです。

＞その後のｆ(ｘ)=ｆ(a)へのもってき方も

(1)0≦a＜1/2のとき
　[2a]＝0,[a]＝0であるから
　f(x)＝2[2a]－1＝0－1＝－1
　f(a)＝－4[a]＋2[2a]－1＝0＋0－1＝－1
　よって、f(x)＝f(a)＝－1
(2)1/2≦a＜1のとき
　[2a]＝1,[a]＝0であるから
　f(x)＝2[2a]－1＝2－1＝1
　f(a)＝－4[a]＋2[2a]－1＝0＋2－1＝1
　よって、f(x)＝f(a)＝1
(1)(2)より、f(x)＝f(a) は成り立つ。