区間に文字を含む時

質問

「a＞０とする。関数f(x)＝x^3ー6x^2＋9x(a≦x≦2a)の最大値を求めよ。」

自分は場合分けを極値を基準に
・０＜2a＜１
・１≦2a＜３
・2a≧３
とやったのですが
解説では、場合分けが、
・０＜a＜2a＜１
・０＜a＜１≦2a
・a≧１
となっていたのですが、
なぜこの範囲で場合分けをするのでしょうか？
しかも、a≧１のときは f(2a)だから
最大値は8a^3ー24a^2＋１8aではないのでしょうか？

回答No.2

info22 · ベストアンサー

f(x)＝x^3ー6x^2＋9x
のグラフを描きましたか？

>・１≦2a＜３
これは駄目ですね。
極値が範囲に含まれる
１≦2a≦2
と極値が範囲に含まれない
2＜2a＜4
で分けないと駄目ですね。
この上の
範囲は
> ・2a≧３
ではなく
・4≦2a
でないといけません。

>しかも、a≧１のときは f(2a)だから
>最大値は8a^3ー24a^2＋１8aではないのでしょうか？
間違っています。

ちゃんとグラフを描いて確認して下さい。

0<a≦1/2の時、最大値f(2a)
1/2≦a≦1の時、最大値f(1)
1≦a≦(3/7)(3+√2)の時、最大値f(a)
(3/7)(3+√2)≦aの時、最大値f(2a)
となります。

回答No.3

aqfeplus

あまり自信が無いのですが、回答を（＾＾；
というのも、問題を解こうとすると、解説とも違ったもので…

範囲がa≦x≦2aと考えにくいので、a=0から段階的に増やして
いきましょう。
１．最初はf(2a)が最大値となります。2aが1に届くまで。
このときのaの範囲は、0<aかつ0<2a≦1。

２．次に、f(1)=4が最大値となります。aが1に届くまで。
それは、[a,2a]という範囲がx=1をまたぐからです。
このときのaの範囲は、0<a≦1かつ1<2a
（ホントは、f(1)>f(2a)も満たす必要がありますが、a≦1であるので、
2a≦2となり極小点のx=3をまたがないのでf(1)>f(2a)は自明です）

３．次に、f(a)が最大値となります。f(a)=f(2a)となるまで。
ここが解説と違うところ…
aが1を超えてしまうので、f(1)>f(a)となるのですが、
aが1付近のうちは、2aはまだ2付近なので、f(a)>f(2a)だからです。
このときのaの範囲は、1<aかつf(a)>f(2a)。
ここは多分しっかり解説しても分かりづらいと思うので、[a,2a]の
範囲をグラフ上で確認してください。
f(a)が最大値となるのは、1.1≦x≦2.2もありますし、1.6≦x≦3.2と
いう風に2a≧3のときも含まれます。
a>0を利用して不等号の両辺をaで割れること、a>1であることを
利用して解くと、aの範囲は1<a<(9+3√2)/7

４．最後に、f(2a)が最大値となります。
このときのaの範囲は、f(a)<f(2a)。解いてa>(9+3√2)/7です。

１．0<a<2a≦1：最大値f(a)
２．0<a≦1<2a：最大値f(1)=4
３．1<a<(9+3√2)/7：最大値f(a)
４．a>(9+3√2)/7：最大値f(2a)
回答してしまいましたが、あまり自信ないです。
お手数ですが、ご自分で確かめてください。

回答No.1

Kules

ちゃんと計算はしていないので確認は自分でして欲しいのですが…
この３次関数は
・１まで増加
・１から３まで減少
・３からまた増加
という形になると思います。
質問者様の解答だと
１≦2a＜３
では最大値はx=1の時という解釈になっているのだと思いますが、そうはならない時もあります。(具体的にはa=1から3/2まで)
また、
＞a≧１のときは f(2a)だから
そうとも限りません。少なくともaが3/2まではf(a)が最大値となります。
・極大値を範囲に含むか、含まないか
という判断基準がいいと思います。