数Iのガウス記号について

2011/09/15 13:13

このQ&Aのポイント

実数ｘを超えない最大の整数を記号[ｘ]で表す時、関数ｆ（ｘ）＝ｘ－[ｘ]と関数ｇ（ｘ）＝[－ｘ]のグラフの描き方について解説します。
関数ｆ（ｘ）＝ｘ－[ｘ]は、ｘが－１≦ｘ＜０の範囲ではｆ（ｘ）＝ｘ＋１、０≦ｘ＜１の範囲ではｆ（ｘ）＝ｘ、１≦ｘ＜２の範囲ではｆ（ｘ）＝ｘ－１、ｘ＝２の範囲ではｆ（ｘ）＝０となります。
関数ｇ（ｘ）＝[－ｘ]は、ｘが－１の範囲ではｇ（ｘ）＝１、－１＜ｘ≦０の範囲ではｇ（ｘ）＝０、０＜ｘ≦１の範囲ではｇ（ｘ）＝－１、１＜ｘ≦２の範囲ではｇ（ｘ）＝－２となります。関数ｇ（ｘ）の場合分けの仕方を詳しく解説します。

asd0pse
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数学・算数
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Takihama
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2011/09/15 15:31 回答No.2

結論としては、（２）のガウス記号部分は[－x]とマイナスがついているからです。（a）[ｘ]＝ｎ←→ｎ≦ｘ＜ｎ＋１（b）[－ｘ]＝ｎ←→ｎ≦－ｘ＜ｎ＋１（b’）[－ｘ]＝ｎ←→－（ｎ＋１）＜ｘ≦－ｎ（a）は大丈夫ですよね？（b）は（a）のxを－xに書き換えただけです。（b’）は（b）の不等号部分を変形して、－xをxに戻しただけです。式全体に－1をかけるとこうなります。「＜」と「≦」の場所が入れ替わっていることに注意してください。つまり、[－x]は以下のような性質を持ちます。・[－ｘ]＝１←→－２＜ｘ≦－１・[－ｘ]＝０←→－１＜ｘ≦０・[－ｘ]＝－１←→０＜ｘ≦１・[－ｘ]＝－２←→１＜ｘ≦２ところで、xは－１≦x≦２でしたので、この範囲を意識すると、上の4行は以下のように書き換えられます。 ※実際には1行目だけ書き換わり、残りは同じ。・[－ｘ]＝１←→ｘ＝－１・[－ｘ]＝０←→－１＜ｘ≦０・[－ｘ]＝－１←→０＜ｘ≦１・[－ｘ]＝－２←→１＜ｘ≦２ということで、これらの←→の右側部分がそのまま場合わけとなっているわけです。余談私であれば、（２）は以下のようにしてときます。（２）ｇ（ｘ）＝[－ｘ] －ｘ＝ｋとおくと、ｇ（ｘ）＝[ｋ] このとき、-１≦ｘ≦２だから-２≦ｋ≦１で、ｋについてといた後で、ｘに戻してあげればよいわけです。

質問者

補足 2011/09/16 09:23

なるほど！だから（２）はｘ＝－１から始まるんですね！そしてｋの置き替えもすごく参考になりました！言葉足らずな質問なのに答えて欲しいことがどんぴしゃでありがたかったです（> <) それでは、まず今の私の場合、（２）をもしｋに置き換えずに解答するとき、場合分けがどう始めていいかわからなかったら＞つまり、[－x]は以下のような性質を持ちます。　・[－ｘ]＝１←→－２＜ｘ≦－１　・[－ｘ]＝０←→－１＜ｘ≦０　・[－ｘ]＝－１←→０＜ｘ≦１　・[－ｘ]＝－２←→１＜ｘ≦２のように欄外にでもまず書いてから考えた方が整理できるということですねあと別の問題集で [ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１←→ｘ－１＜[ｘ]≦ｘというのもあったのですが、前は理解できたのに今参考に開いたらなんだかよくわからなくなってきてしまいました… よろしければこちらの説明もお願いできないでしょうか？（；－；）

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Takihama
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2011/09/16 15:36 回答No.4

まあ、この程度ならグラフ書けなくても計算で何とか・・・順に変形していきます。 [ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１ 0≦x－[ｘ]＜１　　　（←全部から[ｘ]を引いた）－x≦－[ｘ]＜１－ｘ　（←全部からｘを引いた）ｘ≧[ｘ」＞ｘ－１　　（←－１を掛けて不等号の向きを変えた）ｘ－１＜[ｘ]≦ｘ　　　（←気持ち悪いので、式の順番を変えた）以上より、 [ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１←→ｘ－１＜[ｘ]≦ｘ以上で回答になってますでしょうか？不明な点がありましたら再度ご質問ください。（余談）まぁ、不等号の問題に関しては、グラフは書けたほうがいいです。グラフを覚えておくというよりも、その場で考えながらグラフを書いて、場合わけのパターンを絞り込む、といった感じでしょうか。式が複雑になると、グラフを書かないとチンプンカンプンて場合があります。「テスト中にそんな時間は無いよ」って場合には、適当に数字を代入してみて、（0とか、1とか、-1とか、1.5とか、範囲の端っことか）規則性のあたりをつける方法もあります。蛇足とは承知しておりますが、ご参考まで。

質問者

お礼 2011/09/16 17:26

なってます-！(；－；）二度のお返事ありがとうございました☆ いえ、余談の方も参考になりました近日中にもう一回解きなおしてちゃんとモノにしたいと思います；ありがとうございました(> <)

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info22_
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2011/09/16 11:19 回答No.3

#1です。ガウス記号の定義とガウス記号の関数のグラフの関係を積極的に理解されれば、簡単に問題が解けるのに、その努力をされる積もりが内容で残念ですね。参考URL http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/gauss/gausssymbol.htm ガウス記号の関数のグラフを使えば A#2の補足の >あと別の問題集で >[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１←→ｘ－１＜[ｘ]≦ｘもガウス記号のグラフy=[x]と上に1だけ平行移動したグラフy=[x]+1とy=x,y=x-1のグラフを重ねてお描きになれば明快に理解できると思います。ガウス記号のグラフは受験の穴場なので是非マスターしておかれることをお勧めしておきます。

参考URL：: http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/gauss/gausssymbol.htm

質問者

お礼 2011/09/16 17:20

関数の単元は全般的に苦手で… 自分はまだ定義がしっかり理解できてないのかもしれません…；周り見ても分からない人が多いみたいなので基礎問題とあわせてガウスも頑張ってマスターしようと思います（> <) 二度のお返事ありがとうございました☆

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info22_
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2011/09/15 15:27 回答No.1

(1) f(x)=x-[x] (青実線） (2) g(x)=[-x] （黒実線）のグラフを描いた図を添付します。ガウス記号のグラフがx=n(整数)の跳躍点（不連続点）で値がどうなるかは定義　[ｘ]＝ｎ ⇔ ｎ≦ｘ＜ｎ＋１に基づいて考える必要があります。図では跳躍点(x=n)でのf(x)やg(x)の値は「中潰しの●」点の方の値をとり、「中抜きの○」点の値はとらないことで示して有ります。以上にガウス記号の定義とグラフから、-１≦ｘ≦２の範囲でのグラフは図のようになってx=n（跳躍点）における関数の値（中潰しの●点）の方に注目して、場合分けすれば >（１）は－１≦ｘ＜０から始まるのに（２）はｘ＝－１から場合分けが始まるのがわかりませんの疑問も解決すると思いますがいかがですか？ガウス記号のグラフの跳躍点では定義に基づいて値を求める必要があり、後は例題をこなして慣れるしかありません。ありません。