高校1年 数１ 二次関数とグラフ

質問

次の問題が解説を読んでもよくわからなかったので、質問させてもらいます。

【１】a＞０のとき、関数y=-x^2+4ax-a (0≦x≦2）の最大値を求めよ。

という問題で、解説には

(1)0＜2a≦２
(2)2＜2a

で場合分け？してあります。なぜ、このように分けて考えるのかが分かりません。
わかりやすく教えてください。お願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

ｙ　＝　－ｘ^2　＋　４ａｘ　－　ａ
　＝　－（ｘ^2　－　４ａｘ）　－　ａ
　＝　－（ｘ^2　－　４ａｘ　＋　４ａ^2）　＋　４ａ^2　－　ａ
　＝　－（ｘ－２ａ）^2　＋　４ａ^2　－　ａ

つまり、ｘの範囲が指定されていなければ、ｘ＝２ａ　でｙは最大となります。
ですから、
・ｘ＝２ａ　が　０≦ｘ≦２　の中に収まっていれば、ｘ＝２ａ　のときにｙ最大。
・ｘ＝２ａ　が　０≦ｘ≦２　の中に収まっていなければ、ｘ＝０　か　ｘ＝２　のときにｙ最大。
となります。

収まっているかどうかは、ｘ　を　２ａ　に取り替えて考えればいいので、
・０≦２ａ≦２　ならば、ｘ＝２ａ　のときにｙ最大。
・０≦２ａ≦２　でなければ、ｘ＝０　か　ｘ＝２　のときにｙ最大。

つまり
・０≦２ａ≦２　ならば、ｘ＝２ａ　のときにｙ最大。
・ａ＜０　または　２＜２ａ　ならば、ｘ＝０　か　ｘ＝２　のときにｙ最大。

しかし、問題文で　ａ＞０　と決められているので、
・０＜２ａ≦２　ならば、ｘ＝２ａ　のときにｙ最大。
・２＜２ａ　ならば、ｘ＝０　か　ｘ＝２　のときにｙ最大。

お礼

ありがとうございました＾＾

回答No.2

mister_moonlight

＞なぜ、このように分けて考えるのかが分かりません。

この手の質問が後を絶たない。考えにくいようだ。

勉強のため、a＞０という条件を外し、最大値だけでなく最小値も考えよう。
最大値をＭとし、最小値をＮとしよう。

y＝f(x)＝-x^2+4ax-a＝-(x-2a)＾2＋(4a＾2-a)であるから、これは上に凸で　軸がx＝2aの2次関数。
xの変域は、0≦x≦2。軸が動けば最大値と最小値が変化する、これくらいはわかるだろう。
その分岐は　x＝0と2　であることは自明だが、もうひとつ、0と2の中間のx＝1も関わってくる事に気がつかなければならない。そこから場合わけが発生する。
(1)　2a≧2の時、Ｍ＝f(2)、Ｎ＝f(0)
(2)　2≧2a≧1の時、Ｍ＝f(2a)、Ｎ＝f(0)
(3)　1≧2a≧0の時、Ｍ＝f(2a)、Ｎ＝f(2)
(4)　2a≦0の時、Ｍ＝f(0)、Ｎ＝f(2)

なぜ、こうなるか？　上の4つの場合の2次関数のグラフを書いてみるとわかるだろう。
わからなければ、わかるまで考えると良い。それが数学の上達法だ。

お礼

グラフを描いてみます。