微分法の最大値、最小値

質問

ａ＞０とする。関数ｆ(ｘ)＝ｘ＾３－(３ａ＾２)ｘ＋２ａ＾３の区間－１≦ｘ≦１にあける最小値を求めよ。

この問題は、場合分けが必要ですか？関数ｆ(ｘ)を微分した所で止まっています。簡単な質問をしているかもしれませんが、教えて下さい。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

ti-zuさん、こんばんは。

＞ａ＞０とする。関数ｆ(ｘ)＝ｘ＾３－(３ａ＾２)ｘ＋２ａ＾３の区間－１≦ｘ≦１にあける最小値を求めよ。

まず、f'(x)をとってみて、それをもとに増減表を書いてみましょう。

f'(x)=3x^2-3a^2=3(x+a)(x-a)
となるので、x=a,-aでf'(x)=0となります。

x　・・・・・-a・・・・・a・・・・・・
----------------------------------------
f'(x)　　＋　　0　　-　 0　 +　　　　　
----------------------------------------
f(x)　　　　　極大　　　極小　　　　　

となっています。
ここで、-1≦x≦1における最小値を求めるには
1とaとの大小を比較しなければなりません。

1)1≦aのとき
-1≦x≦1で、y=f(x)は単調減少なので、最小値はf(1)
f(1)=2a^3-3a^2+1

2)a<1のとき
0≦x≦1では、最小値はf(a)とf(-1)の小さい方。
f(a)=0
f(-1)=2a^3-3a^2-1
この大小比較は、
f(-1)-f(a)=2a^3-3a^2-1=(a+1)^2(2a+1)
ここで、(a+1)^2≧0だから、
2a+1≧0のとき、f(-1)≧f(a)
2a+1<0のとき、f(-1)<f(a)
となりますね。
2a+1≧0とは、-1/2≦a<1のときです。
あとはやってみてくださいね。
ご参考になればうれしいです。

回答No.3

fushigichan

＃２です。

＞2)a<1のとき
0≦x≦1では、最小値はf(a)とf(-1)の小さい方。
↑
-1≦x≦1のとき、です。

回答No.1

noname#24477

ｆ’（ｘ）＝3x^2-3a^2＝3(x+a)(x-a)

このグラフはＮ字型をしていて
ｘ＝ａのとき極小値ですから

ａが１より大きいか小さいかで場合分け
ｆ（ａ）とｆ（１）とを比べる（グラフから明らかになる）

またｆ（－１）との比較も必要