微分の問題…

質問

関数F(X)＝X^3－3a^2X＋3の－1≦X≦1における最大値が4であるとき、定数aの値を求めよ。ただしたa>0とする。

…という問題なのですが、
どうやって解いたらいいのでしょうか。
F'(X)＝3(X＋a)(X－a)
まで出したのですが、
どのような場合分けをすればいいのかわかりません。よければ教えてください。

回答No.4

OurSQL

「3通りに場合分けするとうまくいきます」と書きましたが、実は 4 通りに場合分けします（別にからかっている訳じゃないので、怒らないでくださいね）。

1 < a の場合、最大値は F(－1) になるはずですが、1 < a であることより F(－1) = 4 とはなり得ません。
よって、1 < a は却下です。

a = 1 の場合、最大値は F(－a) = F(－1) になるはずですが、これも 4 に等しくありません。
よって、a = 1 も却下。

0 < a < 1 の場合、さらに場合分けが必要となります。
最大値が F(1) なのか、それとも F(－a) なのか、すぐには決められないからです。
ですが、調べてみると、a > 0 であることより、F(1) は最大値である 4 にはなり得ないことが分かります。
という訳で、最後に残った F(－a) が最大値になってくれないと困るのですが、結論は御自分で出してください。
a の値は、ちゃんと求まります。

グラフを描くとき、x 軸は省略して y 軸だけ描いた方がいいかもしれません（これには、ちゃんと理由があります）。
そして、x 座標が －a の点と a の点をグラフ上に固定して、x 座標が －1 の点と 1 の点を場合分けに応じて動かす方が、たぶん理解しやすいと思います。

回答No.3

OurSQL

0 < a < 1, a = 1, 1 < a の 3通りに場合分けするとうまくいきます。

増減表だけでなく、グラフも描いてみるのがお勧めです。

お礼

ありがとうございます！
頑張ってみます！

回答No.2

tomokoich

f'(x)=3(x+a)(x-a)まででたなら
最大値はf(a)=a^3-3a^3+3=-2a^3+3より
求めてみてはいかがでしょう

お礼

ありがとうございます！
頑張ってみますね(^O^)

回答No.1

アロン 中尉（@Aaron_Rashid）

F(X)＝X^3－3a^2X＋3

が何故

F'(X)＝3(X＋a)(X－a)

になるのですか？

問題が正確でないと回答できません。