不等式の証明について

質問

(1) 1-x^2 < exp(-x^2) < 1/(1+x^2) 　を証明せよという問題で
左側は、差をとって微分で証明できたのですが、右側ができません。

g(x)=1/(1+x^2)-exp(-x^2) 　とおいて
g'(x)=(-2x)/〔(1+x^2)^2〕+2x*exp(-x^2)　 と微分した後どうすればよいのでしょうか？

左側についても、より明快な証明があるのでしょうか？
教えてください。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

えっと.... これ, 等号付きませんか? そうでないと x = 0 のときにおかしくなりますよね.
で右は
exp (-x^2) ≦ 1/(1+x^2) iff (1+x^2) exp (-x^2) ≦ 1 iff (1+t) e^(-t) ≦ 1 for t ≧ 0
で最後の証明は微分すれば簡単.

お礼

ありがとうございました！