微分による不等式の証明

質問

x>0のとき
sinx + cosx > 1+x-x^2
が成り立つことを証明したいのですが・・。

まず、f(x)=sinx + cosx -(1+x-x^2)とおいて
f(x)'=cosx-sin-1+2x
f(x)''=-sinx-cosx+2

となってしまい、答えに詰まってしまいました。
sinx+cosx=2ってあるんでしょうか？

回答No.5

uranasu · ベストアンサー

No３で回答した者ですが、誤りがありました。
g(x)=sinx+cosx　とおくと
２次までテーラー展開します。
g(x)=1+x+x^2/2g''(tx)
となる0≦t≦１　ｔが存在する。高木貞治「解析概論」２５節参照。
g(x)と（1+x+x^2)の差を計算すると
g(x)-(1+x-x^2)＝x^2/2(g''(x)+2)　　　　(1)
となる。g''(x)=-sinx-cosx　であるので、任意のｘに対して　sinx+cosx　≧1+x+x^2
が成り立つ。
以上で証明終わります。

－√２≦g''(x)≦√２　となる。
よって、2+g''(x)＞0　である。
よって（１）はｘ＞０のときは値はプラスである。

回答No.6

noname#5537

> sinx + cosx = 2 ってあるんでしょうか？

ありません。

「単振動の合成」の公式を使ってやると，
　sin(x) + cos(x)
は，
　(√2) sin(x + θ)
という形に変形できるので，任意の x について，
　sin(x) + cos(x) < 2
が成り立ちます。

よって，
　f''(x) = 2 - (sin(x) + cos(x)) > 0
です。

回答No.4

noname#24477

第２次導関数まで求めたのは良いと思います。
後はf"(x)＞0がポイント

f"(x)>0 よりf'(x)は増加関数
f'(0)=0 だからx＞0のときf'(x)>0
よってx>0のときf(x)も増加関数でf(0)＝0
だからx＞0のときf(x)＞0

回答No.3

uranasu

xが大きい時は不等式は成り立たないと思います。
g(x)=cosx+sinxとすると、３次までテーラー展開するとg(x)=1+2-x^2/2+g'''(tx)x^3/6
となる0≦t≦1となるｔが存在する。g(x)と右辺の差を計算すると
g(x)-（1+x-x^2）＝x^2/2（１＋g'''(tx)x/3)
となる。
ｘが十分大きくて、g'''(tx)がマイナスの時、
1+g'''(tx)x/3　はマイナスの値となり、不等式が成り立たなくなります。
ですから、ｘについての制限があると思います。
例えば、０≦ｘ≦π/2　とかの制限が必要と思います。

回答No.2

chi-kon

-sinx-cosx+2>0(x>0)なので下に凸な関数ってことがわかります。
f'(x)は単調増加関数ってことですね。
f(0)=0
f'(0)=0なので
f(x)>0(x>0)は成り立つのではないでしょうか。

回答No.1

elevenPM

まず左辺と右辺を別々に考えます。
（左辺）＝√2sin(x+1/4π)
（右辺）＝-{(x-1/2)^2-5/4}

右辺の　最大値は√2
　　　　最小値は-√2

左辺の　最大値は-5/4
　　　　右辺が-√2の時、左辺はそれより小さい。
　　　　（二式のグラフを書くと分かりやすいです）

になり常に（左辺）>（右辺）でいいんではないでしょうか？

あまり自信ありませんが。。