不等式の証明
実数a>0,b>0,c>0のとき、、
a/√(a^2+8bc)+b/√(b^2+8ac)+c/√(c^2+8ab)>=1 を示せ。
1/√(1+8*b/a*c/a)+1/√(1+8*a/b*c/b)+1/√(1+8*a/c*b/c)>=1 を示すことになる。
b/a=x,c/b=y,a/c=zとおくと、xyz=1。
1/√(1+8x/z)+1/√(1+8y/x)+1/√(1+8z/y)>=1
このあと、z=1/xyとして、zを消去して、不等式の左辺のxを固定して、yで微分して、
最小値をもとめ、次にxで微分して、最小値を求める。という流れが頭の中では考えられるのですが
計算を始めると、分けが分からなくなります。
この種の３つの文字がある場合の不等式は、良いアイデアが思い浮かばないと証明できないことが
多いと思いますが、１文字消去で、固定して微分するという方法は計算が進めば、どんな場合でも使えると思います。
この問題の場合、この方針でいったい解けるのでしょうか。それだけでもわかれば、力が沸きもう一度やってみようという気持ちになります。よろしくお願いします。
お礼
(x-3/2y)＾2+3/4y＾2>=0ですね。ありがとうございました。