三角不等式の解き方

質問

(1)三角不等式cos2x+7cosx-3≦0　(0゜≦x≦360゜)を解け。
2cosx^2+7cosx-4≦0
(2cosx-1)(cosx+4)≦0　・・・※
ここでcosx+4＞0より、
cosx≦1/2
よって60゜≦x≦300゜

※部分なのですが、(2cosx-1)が0以下でないといけなくて、(cosx+4)は常に＋と考える
みたいですが、どうしてこうなるのでしょうか。
積は０以下にならないといけないから、積の組み合わせは正と負となるのはわかる
んですが、どうして、
・(2cosx-1)が0以下でないといけない
・(cosx+4)は常に＋
なのでしょうか。
(2cosx-1)が常に＋、(cosx+4)は0以下としてはならない理由がわかりません。

それと、細かい話ですが、cosx+4＞0の＞は≧としてはいけないのはどうしてでしょうか。

(2)三角不等式cos2x+3sinx+1≧0　(0゜≦x≦360゜)を解け。
-2sin^2x+3sinx+2≧0
(2sinx+1)(sinx-2)≦0
sinx-2＜0より、2sinx+1≧0　・・・※
sinx≧-1/2
よって、0゜≦x≦210゜、330゜≦x≦360゜

やはりこちらも※部分でつまづいてます。
なぜ正と負をこのように決められるのでしょうか。
しかも、最後の角の大きさを求めるとき、sinx≧-1/2のときの場合だけ求めて、
sinx＜2についてはふれられてないのはどうしてなのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.4

backflip · ベストアンサー

2sinx+1≧0の≧が＞ではなく≧となるのは、sinx=-1/2のとき0という値を
とるから≧となるんですよね？

結果的にはそうなりますが、考える順番が違う気がします。問題文で≧があるから、≧のままで解いていくのです。＞でなく≧だからといって、＝の場合があるとは限りません。
例えば「2sinx+3≧0　を解け」という問題があったとします。当然＝にはなりませんが、こういう問題があってもおかしくないのです。

お礼

えー、そうなんですか？
それは知りませんでした。これからは問題文にも
気をつけて解いていこうと思います。

ありがとうございました。

回答No.3

backflip

（１）コサインの取れる値の範囲を考えて見れば簡単なことです。
cosx+4=0にはなり得ないので≧にはしません。
≧のままで解いたとすると、2cosx-1)は何になってもよい事になってしまい、不正解です。

（２）についても、サインの取れる値の範囲を考えてみてください。
sinx＜2の場合のxの範囲は？

補足

＞cosx+4=0にはなり得ないので≧にはしません。

そうですよね。cosxの範囲は-1～1だからどう考えてもイコール０にはなりませんよね。

(2)ですが、sinxも0゜≦x＜360゜より、範囲は-1～1ですよね。
なので、-1～1の範囲のどの値を入れてもsinx-2は0以下(sinx-2＜0)になる、
つまり、sinx＜2になるということですよね？

確認させて下さい。
2sinx+1≧0の≧が＞ではなく≧となるのは、sinx=-1/2のとき0という値を
とるから≧となるんですよね？

回答No.2

BLUEPIXY

cosxの範囲は－１～＋１の間ですよね
＋４したら、マイナスにはなりません。
同じく０にもなりません。
ｓｉｎの方も同じ考え方ですね

お礼

cosxの範囲については考えてなかったです。
わかるようになりました。

ありがとうございました。

回答No.1

noname#17965

sinxやcosxは常に-１以上、+１以下です。
だからcosx+４は常に３以上、５以下になるので
cosx+4＞０と言えます。０になることはありませんので、≧は使えません。

（２）も同様です。

お礼

なるほど！そういうことだったんですね～。
わかるようになりました。

ありがとうございました。