不等式

質問

以下の不等式を示せ。

1-(x^2/2) < cosx (x≠0)

微積の問題であったのでそれを使用するんだろうな。
ぐらいしか分かりません。
cosx-1+(x^2/2) > 0
を示せば良いのでしょうか？

すいませんが教えて下さい。

回答No.2

postro · ベストアンサー

f(x)=cosx-1+(x^2/2)　とおく
f'(x)=x-sinx
f''(x)=1-cosx≧0
よってf'(x)は単調増加関数
f'(0)=0 だから　x＞0 のとき　f'(x)＞0 よって　f(x)は単調増加
f(0)=0 だから　x＞0 のとき　f(x)＞0
また
f'(0)=0 だから　x＜0 のとき　f'(x)＜0 よって　f(x)は単調減少
f(0)=0 だから　x＜0 のとき　f(x)＞0
よって1-(x^2/2) < cosx (x≠0)

お礼

回答ありがとうございます。
理解できました。

回答No.3

matelin

cosx-1+(x^2/2)=f(x)と置きます。
f(－x)＝f(x)なので、
ｙ＝f(x)のグラフはｙ軸に関して対象です。
だから、ｘ > 0　の時、f(x)＞０であることの証明をすれば十分です。
　ｆ（０）＝ｃｏｓ０－１＋０＾２／２＝０
　ｆ’（ｘ）＝－ｓｉｎｘ＋ｘ
ゆえに、ｘ > 0　の時、f’(x)＞０であることを証明できれば十分です。
そのために、ｆ’（ｘ）＝ｇ（ｘ）と置いて、
ｘ > 0　の時、ｇ(x)＞０であることを証明することにします。
　ｇ（０）＝０
　ｇ’（ｘ）＝－ｃｏｓｘ＋１
なので、ｘ > 0　の時、ｇ(x)＞０であることは明らかです。

お礼

回答ありがとうございます。
確かにそうですね。
x > 0の時のみの証明で良いですね。
ありがとうございます。

回答No.1

oyamala

その通りだと思いますよ。
あとはcosx-1+(x^2/2)をxで微分して増減表を書けばいいかと。

補足

回答ありがとうございます。
cosx-1+(x^2/2) > 0
を示すのにどのようにしていけば示せるのでしょうか？