不等式の証明（大学受験問題）

質問

お世話になります。

問題は、0≦ｘ≦π/2のとき、不等式2x/π≦sinxが成立することを示せです。
ヒントとして、微分法を用いるか、y=sinxのグラフの凸性に注目とあります。

自分は、微分法でやろうと、右辺引く左辺が常に０より大きいを証明しようと思いました。

が、微分すると、f'(x)＝cosx-2/πとなり、f'(x)＝０のときのxを求めようと思いましたが、求められず、困ってしまいました。

そこで、質問なのですが、この後、どういうふうに解答を作っていけばよいでしょうか。どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

nabla · ベストアンサー

もう既に微分法のやり方を理解なさったようですので不要かもしれませんが…

関数fが区間I上で上に凸であるとは
"任意のa<c<b(a,b,c∈I)に対して[f(c)-f(a)]/(c-a)>[f(b)-f(c)]/(b-c)を満たすこと"
と定義されます。
（実際に絵を描けばなんでこれが上に凸の定義なのかは明らかです）

もしfが微分可能ならfが上に凸であることの必要十分条件はf'が単調減少関数であることは高校で習ったはずです。（さらに２回微分可能ならf''が負である事とも同値）

ですから解答はf=sinx-2x/πとして
１）fの導関数を求めて[0,π/2]で単調減少を示す。
２）fが[0,π/2]で上に凸なのでさっきの定義でa=0,b=π/2とおいてみると簡単な計算で[0,π/2]上f≧0がわかる。
という形になります。

お礼

度々のご回答ありがとうございます。
微分法のやり方もわかりましたが、もう一つの方法もできたらいいなあと思っていたので、ありがたいです。教えていただいたとおり、自分でもやりたいと思います。ありがとうございます。

回答No.2

debut

0≦x≦π/2において、cosx=2/πを満たすxをαとすると、cosxは0≦x≦π/2に
おいては単調減少なので、0≦x＜αではcosx＞2/π、つまりf '(x)＞0、
α＜x≦π/2ではcosx＜2/π、つまりf '(x)＜0、として増減表が書けて、
できるような気がしますが、どうでしょう？

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
今、わかりました。
実は、自分もαとおいてαの前後で、f'(x)が、＋と－と変化するとこまでいっていたのですが、あほなことに勘違いしていて、マイナスだと与式が証明できないじゃないかと早とちりしていました。グラフを書いたら、x=0とx＝π/2で０だから、０～π/2で常にf(x)≧0が証明できました。

ありがとうございました。助かりました。

回答No.1

nabla

多分単純に根号やπの組み合わせでは表現できないでしょう。
しかしその値は問題を解く際に必要ですか？
不等式の証明ですから関数の増減さえ分かれば十分ではないでしょうか？
求めなくてもとりあえず増減表を書いてみましょう。そうすれば解答はすぐに書けると思います。

個人的には凸性に注目した方が簡単だと思いますが。

お礼

早速御回答いただきありがとうございます。
＞凸性に注目した方が簡単だと思いますが。
私もできることなら、片方のやり方でだめだったので、もう一つの方法でと思いましたが、このヒントの「凸性に注目する」の意味がいまいちよくわかりませんでした。sinxが0～π/2において、凸となるのは、わかります。そして、ｙ＝2/πxは直線。でも、それをどのように回答にしたらいいのかわかりませんでした。度々の質問で申し訳ありませんが、どのようにしたらいいのか教えていただけませんか。よろしくお願いします。