効用関数の最大化問題

質問

自分は経済を勉強し始めた者ですが、すみません。この問題なんですが、聞かれ
ている意味が分からないのですが
どういう解法を使用するべきなんでしょうか？

予算制約条件ｐｘX＋ｐｙY＝ｍのもとで、効用関数U（x,y)=xy2乗の最大化問題
を考える（ｐｘはｘ財の価格、ｐｙはy財の価格、ｍは所得を表している)
１）ラグランジュ関数を定義し、一階の条件を全て求めなさい。
２）需要関数ｘ＝ｘ（Px,Py,m)、ｙ＝ｙ（Px,Py,m)を求めなさい。

回答No.1

noname#5336 · ベストアンサー

ラグランジュ関数が分からないと、全く分からないですね。

「pxX」の小文字のxはpにつく添え字だと思いますので、これを誤解ないように、以下p_xXのように表記します（私も正確な表記法を調べてみましたが、わからないので、その点はご勘弁願います）

1)ラグランジュ関数の定義は、
L=（目的関数）+λ（制約条件）

と覚えて下さい。数学的には極めて乱暴ですが、経済学の数学はツールでしかないので、これで十分です。

この場合、
目的関数は　U（x,y）=xy^2
制約条件　s.t. p_xX+p_yY=m
（s.t. は subject to 、すなわち制約条件のこと）
となります。

これを定式化すると
L=U(x,y)+λ（m-p_xX-p_yY）
となります。もちろん、U(x,y)の部分には、関数を代入しましょう。
これをx,y,λのそれぞれについて偏微分し、=0と置いたもの、すなわち
∂L/∂x=0、∂L/∂y=0、∂L/∂λ=0
これが一階の条件です。最後の式は予算制約式に一致することをご確認下さい。

（∂はラウンド、ラウンドデルタ、デルンドなどと読み、偏微分の記号を表します。∂L/∂xは、ラウンドLラウンドxというふうに読みます）

2)需要関数は、1)で求めた3式をx,yについて解くと出てきます。
この場合、それぞれp_x,p_y,mについての関数になります。

実際に解いてしまうと勉強の意味がなくなるので、解法のヒントだけ。

偏微分については西村和雄『経済数学早わかり』（日本評論社）の118ページから119ページ、ラグランジュ未定乗数法については同じく154ページから155ページと、以下のURLをご参照下さい。深入りは禁物です。

参考文献：原田泰『公務員試験　経済学スーパー解法テクニック』実務教育出版260ページ以下

参考URL：

http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=28887,http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=28887

お礼

どうもありがとうございました。
本を読んでどうにか理解することができました。
大学数学がかなり必要になるということも分かって、色々な意味で勉強になりました。ありがとうございました！