定積分について

質問

画像の問題の2番の問題でなぜ-2≦x≦-1，1/3≦x≦1，-1≦x≦1/3みたいに3つ足すのですか？-2≦x≦1/3、1/3≦x≦1じゃダメなんですか？

回答No.4

red-orgel · ベストアンサー

絶対値を含む積分のし方は(1)から(3)となります。
(1) 積分の中が0以上の区間と0以下の区間に分割する
(2)それぞれの積分区間で、以下の決まりに従って絶対値記号をはずす
　　積分の中の値が0以上ならばそのまま、すなわち、 f(x) ≧ 0 なら |f(x)| = 0
　　積分の中の値が0以下ならば符号を変える、すなわち、 f(x) ≦0 なら |f(x)| = -f(x)
(3)それぞれの積分区間ごとに、積分をする

(1)～(3)の計算の仕方を画像に添付します。

回答No.3

info222_

>なぜ-2≦x≦-1，1/3≦x≦1，-1≦x≦1/3みたいに3つ足すのですか？-2≦x≦1/3、1/3≦x≦1じゃダメなんですか？

f(x)=|3x^2+2x-1|=|(3x-1)(x+1)|
y=(3x-1)(x+1)のグラフは
　x≦-1のとき　y≧0
　-1≦x≦1/3のとき y≦0
　x≧1/3のとき　y≧0
なので積分範囲 [-2, 1]で考えると
　-2≦x<-1のとき y≧0 →　|(3x-1)(x+1)|=3x^2+2x-1
　-1≦x≦1/3のとき y≦0 → |(3x-1)(x+1)|=-(3x^2+2x-1)
　1/3≦x≦1のとき　y≧0 → |(3x-1)(x+1)|=3x^2+2x-1
となります。
したがって、積分区間 [-2, 1]で yの符号が「正→負→正」と
絶対値は「≧0」であるから、負の積分区間では　 |(3x-1)(x+1)|=-(3x^2+2x-1)
となる。
ゆえに、積分は３つの積分区間-2≦x≦-1，-1≦x≦1/3，1/3≦x≦1に分けて積分し加えなければ
いけません。

積分区間を　２つの区間-2≦x≦1/3、1/3≦x≦1に分けるだけでは
-2≦x≦1/3の範囲で y=(3x-1)(x+1)が正から負に変化しますので被積分関数の絶対値をはずした式が１つの式で表せません。これは積分範囲を２つだけの範囲に分けて積分することは不可能であることを意味します。

∫[-2, 1] |3x^2+2x-1|dx
=∫[-2, -1] (3x^2+2x-1)dx +∫[-1, 1/3] -(3x^2+2x-1)dx+∫[1/3, 1] (3x^2+2x-1)dx
=[x^3+x^2-x] [-2, -1]+[-x^3-x^2+x] [-1, 1/3]+[x^3+x^2-x] [1/3, 1]
=(-1+1+1-(-8+4+2))+(-1/27-1/9+1/3-(1-1-1))+(1+1-1-(1/27+1/9-1/3))
=3+32/27+32/27
=145/27
となります。

回答No.2

phosphole

逆にその二つの場合分けに限った理由は何ですか？
それで良いと思ったということは、何か理由があるはずです。

回答No.1

bran111

この積分は曲線

y=|3x^2+2x-1)

とｘ軸とx=-2, x=1で囲む部分の面積です。

まずやることは正確なグラフと境界x=-2, x=1を図示することです。

それができてないからこんな当たり前のことが解らないのでしょう。