定積分∫√(1+x)dx 積分区間[0,1]

質問

定積分∫√(1+x)dx 積分区間[0,1]
を表す式は次のうちどれか?
(添付図)

(1)この問題の答えは4番になるらしいのですが、どうやって考えるのでしょうか?

(2)この問題意外にも、このような問題を解く方法を教えていただけると助かります。

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回答No.1

bran111 · ベストアンサー

積分の原点を忘れるからこういった問題に躓きます。
I=∫(0⇒1)f(x)dx
を求めるとき
x=0~１の間をn個の等幅の短冊に切り短冊の面積の合計として積分値を求めたはずです。短冊の左からk番目の面積は幅×高さ=(1/n)f(k/n)となることを納得していますか。そうすれば
I=∫(0⇒1)f(x)dx=Σ(k=1~n)[(1/n)f(k/n)]
が理解できるでしょう。
問題はf(x)=√(1+x)
よって積分は
I=I=∫(0⇒1)√(1+x)dx=Σ(k=1~n)[(1/n))√(1+k/n)]
よって答えは４番

簡単に言うと
dx⇒1/ｎ
x⇒ｋ/ｎ
∫⇒Σ(k=1~n)
に変えて,
正しくはlim(n→∞)にするということです。

以上は積分範囲が0~1の場合ですが一般的なa~bの場合なども確認しておいてください。

お礼

回答ありがとうございました。大変助かりました。これからもよろしくお願いします。